3x+5=x^2+1 का समाधान करें

$$3 x + 5 = x ^ { 2 } + 1$$

x के लिए हल करें

$$x=-1$$

$$x=4$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर से x^{2} घटाएँ.

$$3x+5-x^{2}=1$$

दोनों ओर से 1 घटाएँ.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

4 प्राप्त करने के लिए 1 में से 5 घटाएं.

$$3x+4-x^{2}=0$$

बहुपद को मानक रूप में रखने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करें. टर्म को उच्चतम से निम्नतम घात के क्रम में रखें.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर -x^{2}+ax+bx+4 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=3 ab=-4=-4$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -4 देते हैं.

$$-1,4 -2,2$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

हल वह जोड़ी है जो 3 योग देती है.

$$a=4 b=-1$$

-x^{2}+3x+4 को \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)$$

पहले समूह में -x के और दूसरे समूह में -1 को गुणनखंड बनाएँ.

$$-x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद x-4 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(x-4\right)\left(-x-1\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, x-4=0 और -x-1=0 को हल करें.

$$x=4 x=-1$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर से x^{2} घटाएँ.

$$3x+5-x^{2}=1$$

दोनों ओर से 1 घटाएँ.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

4 प्राप्त करने के लिए 1 में से 5 घटाएं.

$$3x+4-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न -1, b के लिए 3 और द्विघात सूत्र में c के लिए 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

वर्गमूल 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

-4 को -1 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

4 को 4 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\left(-1\right)}$$

9 में 16 को जोड़ें.

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

25 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-3±5}{2\left(-1\right)}$$

2 को -1 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-3±5}{-2}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-3±5}{-2} को हल करें. -3 में 5 को जोड़ें.

$$x=\frac{2}{-2}$$

-2 को 2 से विभाजित करें.

$$x=-1$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-3±5}{-2} को हल करें. -3 में से 5 को घटाएं.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

-2 को -8 से विभाजित करें.

$$x=4$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=-1 x=4$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

दोनों ओर से x^{2} घटाएँ.

$$3x+5-x^{2}=1$$

दोनों ओर से 5 घटाएँ.

$$3x-x^{2}=1-5$$

-4 प्राप्त करने के लिए 5 में से 1 घटाएं.

$$3x-x^{2}=-4$$

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$-x^{2}+3x=-4$$

दोनों ओर -1 से विभाजन करें.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

-1 से विभाजित करना -1 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{4}{-1}$$

-1 को 3 से विभाजित करें.

$$x^{2}-3x=-\frac{4}{-1}$$

-1 को -4 से विभाजित करें.

$$x^{2}-3x=4$$

-\frac{3}{2} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -3 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{3}{2} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{3}{2} का वर्ग करें.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

4 में \frac{9}{4} को जोड़ें.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

गुणक x^{2}-3x+\frac{9}{4}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

सरल बनाएं.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{3}{2} जोड़ें.

$$x=4 x=-1$$