3v^2+36v+49=8v का समाधान करें

$$3 v ^ { 2 } + 36 v + 49 = 8 v$$

v के लिए हल करें

$$v = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

$$v=-7$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर से 8v घटाएँ.

$$3v^{2}+36v+49-8v=0$$

28v प्राप्त करने के लिए 36v और -8v संयोजित करें.

$$3v^{2}+28v+49=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 3v^{2}+av+bv+49 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=28 ab=3\times 49=147$$

चूँकि ab सकारात्मक है, a और b के पास एक ही चिह्न है. चूंकि a+b सकारात्मक है, a और b दोनों सकारात्मक हैं. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद 147 देते हैं.

$$1,147 3,49 7,21$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$1+147=148 3+49=52 7+21=28$$

हल वह जोड़ी है जो 28 योग देती है.

$$a=7 b=21$$

3v^{2}+28v+49 को \left(3v^{2}+7v\right)+\left(21v+49\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(3v^{2}+7v\right)+\left(21v+49\right)$$

पहले समूह में v के और दूसरे समूह में 7 को गुणनखंड बनाएँ.

$$v\left(3v+7\right)+7\left(3v+7\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद 3v+7 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(3v+7\right)\left(v+7\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, 3v+7=0 और v+7=0 को हल करें.

$$v=-\frac{7}{3} v=-7$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर से 8v घटाएँ.

$$3v^{2}+36v+49-8v=0$$

28v प्राप्त करने के लिए 36v और -8v संयोजित करें.

$$3v^{2}+28v+49=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 3, b के लिए 28 और द्विघात सूत्र में c के लिए 49, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 3\times 49}}{2\times 3}$$

वर्गमूल 28.

$$v=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 3\times 49}}{2\times 3}$$

-4 को 3 बार गुणा करें.

$$v=\frac{-28±\sqrt{784-12\times 49}}{2\times 3}$$

-12 को 49 बार गुणा करें.

$$v=\frac{-28±\sqrt{784-588}}{2\times 3}$$

784 में -588 को जोड़ें.

$$v=\frac{-28±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

196 का वर्गमूल लें.

$$v=\frac{-28±14}{2\times 3}$$

2 को 3 बार गुणा करें.

$$v=\frac{-28±14}{6}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण v=\frac{-28±14}{6} को हल करें. -28 में 14 को जोड़ें.

$$v=-\frac{14}{6}$$

2 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-14}{6} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$v=-\frac{7}{3}$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण v=\frac{-28±14}{6} को हल करें. -28 में से 14 को घटाएं.

$$v=-\frac{42}{6}$$

6 को -42 से विभाजित करें.

$$v=-7$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$v=-\frac{7}{3} v=-7$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

दोनों ओर से 8v घटाएँ.

$$3v^{2}+36v+49-8v=0$$

28v प्राप्त करने के लिए 36v और -8v संयोजित करें.

$$3v^{2}+28v+49=0$$

दोनों ओर से 49 घटाएँ. शून्य में से कुछ भी घटाने पर इसका ऋणात्मक मान प्राप्त होता है.

$$3v^{2}+28v=-49$$

दोनों ओर 3 से विभाजन करें.

$$\frac{3v^{2}+28v}{3}=-\frac{49}{3}$$

3 से विभाजित करना 3 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$v^{2}+\frac{28}{3}v=-\frac{49}{3}$$

\frac{14}{3} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक \frac{28}{3} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर \frac{14}{3} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$v^{2}+\frac{28}{3}v+\left(\frac{14}{3}\right)^{2}=-\frac{49}{3}+\left(\frac{14}{3}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके \frac{14}{3} का वर्ग करें.

$$v^{2}+\frac{28}{3}v+\frac{196}{9}=-\frac{49}{3}+\frac{196}{9}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर -\frac{49}{3} में \frac{196}{9} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$v^{2}+\frac{28}{3}v+\frac{196}{9}=\frac{49}{9}$$

गुणक v^{2}+\frac{28}{3}v+\frac{196}{9}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(v+\frac{14}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(v+\frac{14}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

सरल बनाएं.

$$v+\frac{14}{3}=\frac{7}{3} v+\frac{14}{3}=-\frac{7}{3}$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{14}{3} घटाएं.

$$v=-\frac{7}{3} v=-7$$