3n^2-4n-15=0 का समाधान करें

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

n के लिए हल करें

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 3n^{2}+an+bn-15 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b ऋणात्मक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या में धनात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -45 देते हैं.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

हल वह जोड़ी है जो -4 योग देती है.

$$a=-9 b=5$$

3n^{2}-4n-15 को \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

पहले समूह में 3n के और दूसरे समूह में 5 को गुणनखंड बनाएँ.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद n-3 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

समीकरण के हल ढूँढने के लिए, n-3=0 और 3n+5=0 को हल करें.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 3, b के लिए -4 और द्विघात सूत्र में c के लिए -15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

वर्गमूल -4.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-4 को 3 बार गुणा करें.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-12 को -15 बार गुणा करें.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

16 में 180 को जोड़ें.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

196 का वर्गमूल लें.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

-4 का विपरीत 4 है.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

2 को 3 बार गुणा करें.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण n=\frac{4±14}{6} को हल करें. 4 में 14 को जोड़ें.

$$n=\frac{18}{6}$$

6 को 18 से विभाजित करें.

$$n=3$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण n=\frac{4±14}{6} को हल करें. 4 में से 14 को घटाएं.

$$n=-\frac{10}{6}$$

2 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-10}{6} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$n=-\frac{5}{3}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

समीकरण के दोनों ओर 15 जोड़ें.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

0 में से -15 को घटाएं.

$$3n^{2}-4n=15$$

दोनों ओर 3 से विभाजन करें.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

3 से विभाजित करना 3 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

3 को 15 से विभाजित करें.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

-\frac{2}{3} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{4}{3} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{2}{3} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{2}{3} का वर्ग करें.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

5 में \frac{4}{9} को जोड़ें.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

फ़ैक्‍टर n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. सामान्यतः जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसे हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में फ़ैक्‍टर किया जा सकता है.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

सरल बनाएं.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{2}{3} जोड़ें.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$