3n^2+3n+1=1141 का समाधान करें

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

n के लिए हल करें

$$n=-20$$

$$n=19$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर से 1141 घटाएँ.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

-1140 प्राप्त करने के लिए 1141 में से 1 घटाएं.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

दोनों ओर 3 से विभाजन करें.

$$n^{2}+n-380=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर n^{2}+an+bn-380 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -380 देते हैं.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

हल वह जोड़ी है जो 1 योग देती है.

$$a=-19 b=20$$

n^{2}+n-380 को \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

पहले समूह में n के और दूसरे समूह में 20 को गुणनखंड बनाएँ.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद n-19 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, n-19=0 और n+20=0 को हल करें.

$$n=19 n=-20$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

समीकरण के दोनों ओर से 1141 घटाएं.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

1141 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

1 में से 1141 को घटाएं.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 3, b के लिए 3 और द्विघात सूत्र में c के लिए -1140, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

वर्गमूल 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

-4 को 3 बार गुणा करें.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

-12 को -1140 बार गुणा करें.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

9 में 13680 को जोड़ें.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

13689 का वर्गमूल लें.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

2 को 3 बार गुणा करें.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण n=\frac{-3±117}{6} को हल करें. -3 में 117 को जोड़ें.

$$n=\frac{114}{6}$$

6 को 114 से विभाजित करें.

$$n=19$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण n=\frac{-3±117}{6} को हल करें. -3 में से 117 को घटाएं.

$$n=-\frac{120}{6}$$

6 को -120 से विभाजित करें.

$$n=-20$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$n=19 n=-20$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

समीकरण के दोनों ओर से 1 घटाएं.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

1 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

1141 में से 1 को घटाएं.

$$3n^{2}+3n=1140$$

दोनों ओर 3 से विभाजन करें.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

3 से विभाजित करना 3 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

3 को 3 से विभाजित करें.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

3 को 1140 से विभाजित करें.

$$n^{2}+n=380$$

\frac{1}{2} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक 1 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{2} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके \frac{1}{2} का वर्ग करें.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

380 में \frac{1}{4} को जोड़ें.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

गुणक n^{2}+n+\frac{1}{4}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

सरल बनाएं.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{1}{2} घटाएं.

$$n=19 n=-20$$