3(2x+1)^2=108 का समाधान करें

$$3 ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 108$$

x के लिए हल करें

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर 3 से विभाजन करें.

$$\left(2x+1\right)^{2}=\frac{108}{3}$$

36 प्राप्त करने के लिए 108 को 3 से विभाजित करें.

$$\left(2x+1\right)^{2}=36$$

\left(2x+1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$4x^{2}+4x+1=36$$

दोनों ओर से 36 घटाएँ.

$$4x^{2}+4x+1-36=0$$

-35 प्राप्त करने के लिए 36 में से 1 घटाएं.

$$4x^{2}+4x-35=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 4x^{2}+ax+bx-35 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=4 ab=4\left(-35\right)=-140$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -140 देते हैं.

$$-1,140 -2,70 -4,35 -5,28 -7,20 -10,14$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+140=139 -2+70=68 -4+35=31 -5+28=23 -7+20=13 -10+14=4$$

हल वह जोड़ी है जो 4 योग देती है.

$$a=-10 b=14$$

4x^{2}+4x-35 को \left(4x^{2}-10x\right)+\left(14x-35\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(14x-35\right)$$

पहले समूह में 2x के और दूसरे समूह में 7 को गुणनखंड बनाएँ.

$$2x\left(2x-5\right)+7\left(2x-5\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद 2x-5 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+7\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, 2x-5=0 और 2x+7=0 को हल करें.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{7}{2}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर 3 से विभाजन करें.

$$\left(2x+1\right)^{2}=\frac{108}{3}$$

36 प्राप्त करने के लिए 108 को 3 से विभाजित करें.

$$\left(2x+1\right)^{2}=36$$

\left(2x+1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$4x^{2}+4x+1=36$$

दोनों ओर से 36 घटाएँ.

$$4x^{2}+4x+1-36=0$$

-35 प्राप्त करने के लिए 36 में से 1 घटाएं.

$$4x^{2}+4x-35=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 4, b के लिए 4 और द्विघात सूत्र में c के लिए -35, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-35\right)}}{2\times 4}$$

वर्गमूल 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-35\right)}}{2\times 4}$$

-4 को 4 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-35\right)}}{2\times 4}$$

-16 को -35 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+560}}{2\times 4}$$

16 में 560 को जोड़ें.

$$x=\frac{-4±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

576 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-4±24}{2\times 4}$$

2 को 4 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-4±24}{8}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-4±24}{8} को हल करें. -4 में 24 को जोड़ें.

$$x=\frac{20}{8}$$

4 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{20}{8} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=\frac{5}{2}$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-4±24}{8} को हल करें. -4 में से 24 को घटाएं.

$$x=-\frac{28}{8}$$

4 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-28}{8} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=-\frac{7}{2}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{7}{2}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

दोनों ओर 3 से विभाजन करें.

$$\left(2x+1\right)^{2}=\frac{108}{3}$$

36 प्राप्त करने के लिए 108 को 3 से विभाजित करें.

$$\left(2x+1\right)^{2}=36$$

\left(2x+1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$4x^{2}+4x+1=36$$

दोनों ओर से 1 घटाएँ.

$$4x^{2}+4x=36-1$$

35 प्राप्त करने के लिए 1 में से 36 घटाएं.

$$4x^{2}+4x=35$$

दोनों ओर 4 से विभाजन करें.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{35}{4}$$

4 से विभाजित करना 4 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{35}{4}$$

4 को 4 से विभाजित करें.

$$x^{2}+x=\frac{35}{4}$$

\frac{1}{2} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक 1 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{2} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{35}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके \frac{1}{2} का वर्ग करें.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{35+1}{4}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{35}{4} में \frac{1}{4} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=9$$

गुणक x^{2}+x+\frac{1}{4}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=9$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

सरल बनाएं.

$$x+\frac{1}{2}=3 x+\frac{1}{2}=-3$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{1}{2} घटाएं.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{7}{2}$$