25y^2-54y-63=0 का समाधान करें

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

y के लिए हल करें

$$y=-\frac{21}{25}=-0.84$$

$$y=3$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 25y^{2}+ay+by-63 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b ऋणात्मक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या में धनात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -1575 देते हैं.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

हल वह जोड़ी है जो -54 योग देती है.

$$a=-75 b=21$$

25y^{2}-54y-63 को \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

पहले समूह में 25y के और दूसरे समूह में 21 को गुणनखंड बनाएँ.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद y-3 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, y-3=0 और 25y+21=0 को हल करें.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 25, b के लिए -54 और द्विघात सूत्र में c के लिए -63, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

वर्गमूल -54.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

-4 को 25 बार गुणा करें.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

-100 को -63 बार गुणा करें.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

2916 में 6300 को जोड़ें.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

9216 का वर्गमूल लें.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

-54 का विपरीत 54 है.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

2 को 25 बार गुणा करें.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण y=\frac{54±96}{50} को हल करें. 54 में 96 को जोड़ें.

$$y=\frac{150}{50}$$

50 को 150 से विभाजित करें.

$$y=3$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण y=\frac{54±96}{50} को हल करें. 54 में से 96 को घटाएं.

$$y=-\frac{42}{50}$$

2 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-42}{50} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$y=-\frac{21}{25}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

समीकरण के दोनों ओर 63 जोड़ें.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

-63 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

0 में से -63 को घटाएं.

$$25y^{2}-54y=63$$

दोनों ओर 25 से विभाजन करें.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

25 से विभाजित करना 25 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

-\frac{27}{25} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{54}{25} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{27}{25} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{27}{25} का वर्ग करें.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{63}{25} में \frac{729}{625} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

गुणक y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

सरल बनाएं.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{27}{25} जोड़ें.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$