25x^2-10x-x^2-25=0 का समाधान करें

$$25 x ^ { 2 } - 10 x - x ^ { 2 } - 25 = 0$$

x के लिए हल करें

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0.833333333$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

24x^{2} प्राप्त करने के लिए 25x^{2} और -x^{2} संयोजित करें.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 24x^{2}+ax+bx-25 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-10 ab=24\left(-25\right)=-600$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b ऋणात्मक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या में धनात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -600 देते हैं.

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

हल वह जोड़ी है जो -10 योग देती है.

$$a=-30 b=20$$

24x^{2}-10x-25 को \left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right)$$

पहले समूह में 6x के और दूसरे समूह में 5 को गुणनखंड बनाएँ.

$$6x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद 4x-5 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(4x-5\right)\left(6x+5\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, 4x-5=0 और 6x+5=0 को हल करें.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

24x^{2} प्राप्त करने के लिए 25x^{2} और -x^{2} संयोजित करें.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 24, b के लिए -10 और द्विघात सूत्र में c के लिए -25, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

वर्गमूल -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

-4 को 24 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

-96 को -25 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+2400}}{2\times 24}$$

100 में 2400 को जोड़ें.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{2500}}{2\times 24}$$

2500 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±50}{2\times 24}$$

-10 का विपरीत 10 है.

$$x=\frac{10±50}{2\times 24}$$

2 को 24 बार गुणा करें.

$$x=\frac{10±50}{48}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{10±50}{48} को हल करें. 10 में 50 को जोड़ें.

$$x=\frac{60}{48}$$

12 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{60}{48} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=\frac{5}{4}$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{10±50}{48} को हल करें. 10 में से 50 को घटाएं.

$$x=-\frac{40}{48}$$

8 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-40}{48} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=-\frac{5}{6}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

24x^{2} प्राप्त करने के लिए 25x^{2} और -x^{2} संयोजित करें.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

दोनों ओर 25 जोड़ें. किसी भी संख्या में शून्य जोड़ने पर परिणाम वही आता है.

$$24x^{2}-10x=25$$

दोनों ओर 24 से विभाजन करें.

$$\frac{24x^{2}-10x}{24}=\frac{25}{24}$$

24 से विभाजित करना 24 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{24}\right)x=\frac{25}{24}$$

2 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-10}{24} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{25}{24}$$

-\frac{5}{24} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{5}{12} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{5}{24} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{25}{24}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{5}{24} का वर्ग करें.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{25}{24}+\frac{25}{576}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{25}{24} में \frac{25}{576} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{625}{576}$$

गुणक x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

सरल बनाएं.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{25}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{25}{24}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{5}{24} जोड़ें.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$