25x^2+250x-15000=0 का समाधान करें

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

x के लिए हल करें

$$x=-30$$

$$x=20$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर 25 से विभाजन करें.

$$x^{2}+10x-600=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर x^{2}+ax+bx-600 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -600 देते हैं.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

हल वह जोड़ी है जो 10 योग देती है.

$$a=-20 b=30$$

x^{2}+10x-600 को \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

पहले समूह में x के और दूसरे समूह में 30 को गुणनखंड बनाएँ.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद x-20 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, x-20=0 और x+30=0 को हल करें.

$$x=20 x=-30$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 25, b के लिए 250 और द्विघात सूत्र में c के लिए -15000, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

वर्गमूल 250.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

-4 को 25 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

-100 को -15000 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

62500 में 1500000 को जोड़ें.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

1562500 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

2 को 25 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-250±1250}{50} को हल करें. -250 में 1250 को जोड़ें.

$$x=\frac{1000}{50}$$

50 को 1000 से विभाजित करें.

$$x=20$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-250±1250}{50} को हल करें. -250 में से 1250 को घटाएं.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

50 को -1500 से विभाजित करें.

$$x=-30$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=20 x=-30$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

समीकरण के दोनों ओर 15000 जोड़ें.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

-15000 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

0 में से -15000 को घटाएं.

$$25x^{2}+250x=15000$$

दोनों ओर 25 से विभाजन करें.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

25 से विभाजित करना 25 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

25 को 250 से विभाजित करें.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

25 को 15000 से विभाजित करें.

$$x^{2}+10x=600$$

5 प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक 10 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर 5 का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

वर्गमूल 5.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

600 में 25 को जोड़ें.

$$x^{2}+10x+25=625$$

गुणक x^{2}+10x+25. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

सरल बनाएं.

$$x+5=25 x+5=-25$$

समीकरण के दोनों ओर से 5 घटाएं.

$$x=20 x=-30$$