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x के लिए हल करें
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a+b=-11 ab=20\left(-3\right)=-60
समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 20x^{2}+ax+bx-3 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.
1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10
चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b ऋणात्मक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या में धनात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -60 देते हैं.
1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4
प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.
a=-15 b=4
हल वह जोड़ी है जो -11 योग देती है.
\left(20x^{2}-15x\right)+\left(4x-3\right)
20x^{2}-11x-3 को \left(20x^{2}-15x\right)+\left(4x-3\right) के रूप में फिर से लिखें.
5x\left(4x-3\right)+4x-3
20x^{2}-15x में 5x को गुणनखंड बनाएँ.
\left(4x-3\right)\left(5x+1\right)
विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद 4x-3 के गुणनखंड बनाएँ.
x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{5}
समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, 4x-3=0 और 5x+1=0 को हल करें.
20x^{2}-11x-3=0
ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.
x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}
यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 20, b के लिए -11 और द्विघात सूत्र में c के लिए -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}
वर्गमूल -11.
x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-80\left(-3\right)}}{2\times 20}
-4 को 20 बार गुणा करें.
x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2\times 20}
-80 को -3 बार गुणा करें.
x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2\times 20}
121 में 240 को जोड़ें.
x=\frac{-\left(-11\right)±19}{2\times 20}
361 का वर्गमूल लें.
x=\frac{11±19}{2\times 20}
-11 का विपरीत 11 है.
x=\frac{11±19}{40}
2 को 20 बार गुणा करें.
x=\frac{30}{40}
± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{11±19}{40} को हल करें. 11 में 19 को जोड़ें.
x=\frac{3}{4}
10 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{30}{40} को न्यूनतम पदों तक कम करें.
x=-\frac{8}{40}
± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{11±19}{40} को हल करें. 11 में से 19 को घटाएं.
x=-\frac{1}{5}
8 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-8}{40} को न्यूनतम पदों तक कम करें.
x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{5}
अब समीकरण का समाधान हो गया है.
20x^{2}-11x-3=0
इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.
20x^{2}-11x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)
समीकरण के दोनों ओर 3 जोड़ें.
20x^{2}-11x=-\left(-3\right)
-3 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.
20x^{2}-11x=3
0 में से -3 को घटाएं.
\frac{20x^{2}-11x}{20}=\frac{3}{20}
दोनों ओर 20 से विभाजन करें.
x^{2}-\frac{11}{20}x=\frac{3}{20}
20 से विभाजित करना 20 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.
x^{2}-\frac{11}{20}x+\left(-\frac{11}{40}\right)^{2}=\frac{3}{20}+\left(-\frac{11}{40}\right)^{2}
-\frac{11}{40} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{11}{20} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{11}{40} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.
x^{2}-\frac{11}{20}x+\frac{121}{1600}=\frac{3}{20}+\frac{121}{1600}
भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{11}{40} का वर्ग करें.
x^{2}-\frac{11}{20}x+\frac{121}{1600}=\frac{361}{1600}
सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{3}{20} में \frac{121}{1600} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.
\left(x-\frac{11}{40}\right)^{2}=\frac{361}{1600}
गुणक x^{2}-\frac{11}{20}x+\frac{121}{1600}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.
\sqrt{\left(x-\frac{11}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{1600}}
समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.
x-\frac{11}{40}=\frac{19}{40} x-\frac{11}{40}=-\frac{19}{40}
सरल बनाएं.
x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{5}
समीकरण के दोनों ओर \frac{11}{40} जोड़ें.