2x(x-3)+5(x-3)=0 का समाधान करें

$$2 x ( x - 3 ) + 5 ( x - 3 ) = 0$$

x के लिए हल करें

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=3$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

x-3 से 2x गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$2x^{2}-6x+5\left(x-3\right)=0$$

x-3 से 5 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$2x^{2}-6x+5x-15=0$$

-x प्राप्त करने के लिए -6x और 5x संयोजित करें.

$$2x^{2}-x-15=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 2x^{2}+ax+bx-15 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b ऋणात्मक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या में धनात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -30 देते हैं.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

हल वह जोड़ी है जो -1 योग देती है.

$$a=-6 b=5$$

2x^{2}-x-15 को \left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

पहले समूह में 2x के और दूसरे समूह में 5 को गुणनखंड बनाएँ.

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद x-3 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, x-3=0 और 2x+5=0 को हल करें.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

x-3 से 2x गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$2x^{2}-6x+5\left(x-3\right)=0$$

x-3 से 5 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$2x^{2}-6x+5x-15=0$$

-x प्राप्त करने के लिए -6x और 5x संयोजित करें.

$$2x^{2}-x-15=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 2, b के लिए -1 और द्विघात सूत्र में c के लिए -15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

-4 को 2 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

-8 को -15 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2\times 2}$$

1 में 120 को जोड़ें.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

121 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2\times 2}$$

-1 का विपरीत 1 है.

$$x=\frac{1±11}{2\times 2}$$

2 को 2 बार गुणा करें.

$$x=\frac{1±11}{4}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{1±11}{4} को हल करें. 1 में 11 को जोड़ें.

$$x=\frac{12}{4}$$

4 को 12 से विभाजित करें.

$$x=3$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{1±11}{4} को हल करें. 1 में से 11 को घटाएं.

$$x=-\frac{10}{4}$$

2 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-10}{4} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=-\frac{5}{2}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

x-3 से 2x गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$2x^{2}-6x+5\left(x-3\right)=0$$

x-3 से 5 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$2x^{2}-6x+5x-15=0$$

-x प्राप्त करने के लिए -6x और 5x संयोजित करें.

$$2x^{2}-x-15=0$$

दोनों ओर 15 जोड़ें. किसी भी संख्या में शून्य जोड़ने पर परिणाम वही आता है.

$$2x^{2}-x=15$$

दोनों ओर 2 से विभाजन करें.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{15}{2}$$

2 से विभाजित करना 2 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{15}{2}$$

-\frac{1}{4} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{1}{2} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{1}{4} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{1}{4} का वर्ग करें.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{15}{2}+\frac{1}{16}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{15}{2} में \frac{1}{16} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{121}{16}$$

गुणक x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

सरल बनाएं.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{4} जोड़ें.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$