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x के लिए हल करें
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2x^{2}-2x-12-28=0
दोनों ओर से 28 घटाएँ.
2x^{2}-2x-40=0
-40 प्राप्त करने के लिए 28 में से -12 घटाएं.
x^{2}-x-20=0
दोनों ओर 2 से विभाजन करें.
a+b=-1 ab=1\left(-20\right)=-20
समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर x^{2}+ax+bx-20 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.
1,-20 2,-10 4,-5
चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b ऋणात्मक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या में धनात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -20 देते हैं.
1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1
प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.
a=-5 b=4
हल वह जोड़ी है जो -1 योग देती है.
\left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)
x^{2}-x-20 को \left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right) के रूप में फिर से लिखें.
x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)
पहले समूह में x के और दूसरे समूह में 4 को गुणनखंड बनाएँ.
\left(x-5\right)\left(x+4\right)
विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद x-5 के गुणनखंड बनाएँ.
x=5 x=-4
समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, x-5=0 और x+4=0 को हल करें.
2x^{2}-2x-12=28
ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.
2x^{2}-2x-12-28=28-28
समीकरण के दोनों ओर से 28 घटाएं.
2x^{2}-2x-12-28=0
28 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.
2x^{2}-2x-40=0
-12 में से 28 को घटाएं.
x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}
यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 2, b के लिए -2 और द्विघात सूत्र में c के लिए -40, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}
वर्गमूल -2.
x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-40\right)}}{2\times 2}
-4 को 2 बार गुणा करें.
x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 2}
-8 को -40 बार गुणा करें.
x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 2}
4 में 320 को जोड़ें.
x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 2}
324 का वर्गमूल लें.
x=\frac{2±18}{2\times 2}
-2 का विपरीत 2 है.
x=\frac{2±18}{4}
2 को 2 बार गुणा करें.
x=\frac{20}{4}
± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{2±18}{4} को हल करें. 2 में 18 को जोड़ें.
x=5
4 को 20 से विभाजित करें.
x=-\frac{16}{4}
± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{2±18}{4} को हल करें. 2 में से 18 को घटाएं.
x=-4
4 को -16 से विभाजित करें.
x=5 x=-4
अब समीकरण का समाधान हो गया है.
2x^{2}-2x-12=28
इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.
2x^{2}-2x-12-\left(-12\right)=28-\left(-12\right)
समीकरण के दोनों ओर 12 जोड़ें.
2x^{2}-2x=28-\left(-12\right)
-12 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.
2x^{2}-2x=40
28 में से -12 को घटाएं.
\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{40}{2}
दोनों ओर 2 से विभाजन करें.
x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{40}{2}
2 से विभाजित करना 2 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.
x^{2}-x=\frac{40}{2}
2 को -2 से विभाजित करें.
x^{2}-x=20
2 को 40 से विभाजित करें.
x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}
-\frac{1}{2} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -1 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{1}{2} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.
x^{2}-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}
भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{1}{2} का वर्ग करें.
x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}
20 में \frac{1}{4} को जोड़ें.
\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}
गुणक x^{2}-x+\frac{1}{4}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.
\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}
समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.
x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}
सरल बनाएं.
x=5 x=-4
समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{2} जोड़ें.