2x^2-2x-1=0 का समाधान करें

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

x के लिए हल करें

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1.366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.366025404$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 2, b के लिए -2 और द्विघात सूत्र में c के लिए -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

वर्गमूल -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

-4 को 2 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

-8 को -1 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

4 में 8 को जोड़ें.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

12 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

-2 का विपरीत 2 है.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

2 को 2 बार गुणा करें.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} को हल करें. 2 में 2\sqrt{3} को जोड़ें.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

4 को 2+2\sqrt{3} से विभाजित करें.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} को हल करें. 2 में से 2\sqrt{3} को घटाएं.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

4 को 2-2\sqrt{3} से विभाजित करें.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

समीकरण के दोनों ओर 1 जोड़ें.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

0 में से -1 को घटाएं.

$$2x^{2}-2x=1$$

दोनों ओर 2 से विभाजन करें.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

2 से विभाजित करना 2 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

2 को -2 से विभाजित करें.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

-\frac{1}{2} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -1 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{1}{2} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{1}{2} का वर्ग करें.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{1}{2} में \frac{1}{4} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

गुणक x^{2}-x+\frac{1}{4}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

सरल बनाएं.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{2} जोड़ें.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$