2r^2-27=3r का समाधान करें

$$2 r ^ { 2 } - 27 = 3 r$$

r के लिए हल करें

$$r=-3$$

$$r = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर से 3r घटाएँ.

$$2r^{2}-27-3r=0$$

बहुपद को मानक रूप में रखने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करें. टर्म को उच्चतम से निम्नतम घात के क्रम में रखें.

$$2r^{2}-3r-27=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 2r^{2}+ar+br-27 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-3 ab=2\left(-27\right)=-54$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b ऋणात्मक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या में धनात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -54 देते हैं.

$$1,-54 2,-27 3,-18 6,-9$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$1-54=-53 2-27=-25 3-18=-15 6-9=-3$$

हल वह जोड़ी है जो -3 योग देती है.

$$a=-9 b=6$$

2r^{2}-3r-27 को \left(2r^{2}-9r\right)+\left(6r-27\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(2r^{2}-9r\right)+\left(6r-27\right)$$

पहले समूह में r के और दूसरे समूह में 3 को गुणनखंड बनाएँ.

$$r\left(2r-9\right)+3\left(2r-9\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद 2r-9 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(2r-9\right)\left(r+3\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, 2r-9=0 और r+3=0 को हल करें.

$$r=\frac{9}{2} r=-3$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर से 3r घटाएँ.

$$2r^{2}-27-3r=0$$

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$2r^{2}-3r-27=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 2, b के लिए -3 और द्विघात सूत्र में c के लिए -27, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-27\right)}}{2\times 2}$$

वर्गमूल -3.

$$r=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-27\right)}}{2\times 2}$$

-4 को 2 बार गुणा करें.

$$r=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-27\right)}}{2\times 2}$$

-8 को -27 बार गुणा करें.

$$r=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+216}}{2\times 2}$$

9 में 216 को जोड़ें.

$$r=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{225}}{2\times 2}$$

225 का वर्गमूल लें.

$$r=\frac{-\left(-3\right)±15}{2\times 2}$$

-3 का विपरीत 3 है.

$$r=\frac{3±15}{2\times 2}$$

2 को 2 बार गुणा करें.

$$r=\frac{3±15}{4}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण r=\frac{3±15}{4} को हल करें. 3 में 15 को जोड़ें.

$$r=\frac{18}{4}$$

2 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{18}{4} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$r=\frac{9}{2}$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण r=\frac{3±15}{4} को हल करें. 3 में से 15 को घटाएं.

$$r=-\frac{12}{4}$$

4 को -12 से विभाजित करें.

$$r=-3$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$r=\frac{9}{2} r=-3$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

दोनों ओर से 3r घटाएँ.

$$2r^{2}-27-3r=0$$

दोनों ओर 27 जोड़ें. किसी भी संख्या में शून्य जोड़ने पर परिणाम वही आता है.

$$2r^{2}-3r=27$$

दोनों ओर 2 से विभाजन करें.

$$\frac{2r^{2}-3r}{2}=\frac{27}{2}$$

2 से विभाजित करना 2 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$r^{2}-\frac{3}{2}r=\frac{27}{2}$$

-\frac{3}{4} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{3}{2} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{3}{4} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$r^{2}-\frac{3}{2}r+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{27}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{3}{4} का वर्ग करें.

$$r^{2}-\frac{3}{2}r+\frac{9}{16}=\frac{27}{2}+\frac{9}{16}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{27}{2} में \frac{9}{16} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$r^{2}-\frac{3}{2}r+\frac{9}{16}=\frac{225}{16}$$

गुणक r^{2}-\frac{3}{2}r+\frac{9}{16}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(r-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{225}{16}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(r-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{16}}$$

सरल बनाएं.

$$r-\frac{3}{4}=\frac{15}{4} r-\frac{3}{4}=-\frac{15}{4}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{3}{4} जोड़ें.

$$r=\frac{9}{2} r=-3$$