2x^2-82x+360=0 का समाधान करें

$$2 { x }^{ 2 } -82x+360 = 0$$

x के लिए हल करें

$$x=5$$

$$x=36$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर 2 से विभाजन करें.

$$x^{2}-41x+180=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर x^{2}+ax+bx+180 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-41 ab=1\times 180=180$$

चूँकि ab सकारात्मक है, a और b के पास एक ही चिह्न है. चूँकि a+b नकारात्मक है, a और b दोनों नकारात्मक हैं. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद 180 देते हैं.

$$-1,-180 -2,-90 -3,-60 -4,-45 -5,-36 -6,-30 -9,-20 -10,-18 -12,-15$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1-180=-181 -2-90=-92 -3-60=-63 -4-45=-49 -5-36=-41 -6-30=-36 -9-20=-29 -10-18=-28 -12-15=-27$$

हल वह जोड़ी है जो -41 योग देती है.

$$a=-36 b=-5$$

x^{2}-41x+180 को \left(x^{2}-36x\right)+\left(-5x+180\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(x^{2}-36x\right)+\left(-5x+180\right)$$

पहले समूह में x के और दूसरे समूह में -5 को गुणनखंड बनाएँ.

$$x\left(x-36\right)-5\left(x-36\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद x-36 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(x-36\right)\left(x-5\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, x-36=0 और x-5=0 को हल करें.

$$x=36 x=5$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$2x^{2}-82x+360=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 2, b के लिए -82 और द्विघात सूत्र में c के लिए 360, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{\left(-82\right)^{2}-4\times 2\times 360}}{2\times 2}$$

वर्गमूल -82.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-4\times 2\times 360}}{2\times 2}$$

-4 को 2 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-8\times 360}}{2\times 2}$$

-8 को 360 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-2880}}{2\times 2}$$

6724 में -2880 को जोड़ें.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{3844}}{2\times 2}$$

3844 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±62}{2\times 2}$$

-82 का विपरीत 82 है.

$$x=\frac{82±62}{2\times 2}$$

2 को 2 बार गुणा करें.

$$x=\frac{82±62}{4}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{82±62}{4} को हल करें. 82 में 62 को जोड़ें.

$$x=\frac{144}{4}$$

4 को 144 से विभाजित करें.

$$x=36$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{82±62}{4} को हल करें. 82 में से 62 को घटाएं.

$$x=\frac{20}{4}$$

4 को 20 से विभाजित करें.

$$x=5$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=36 x=5$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$2x^{2}-82x+360=0$$

समीकरण के दोनों ओर से 360 घटाएं.

$$2x^{2}-82x+360-360=-360$$

360 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.

$$2x^{2}-82x=-360$$

दोनों ओर 2 से विभाजन करें.

$$\frac{2x^{2}-82x}{2}=-\frac{360}{2}$$

2 से विभाजित करना 2 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\left(-\frac{82}{2}\right)x=-\frac{360}{2}$$

2 को -82 से विभाजित करें.

$$x^{2}-41x=-\frac{360}{2}$$

2 को -360 से विभाजित करें.

$$x^{2}-41x=-180$$

-\frac{41}{2} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -41 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{41}{2} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}-41x+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}=-180+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{41}{2} का वर्ग करें.

$$x^{2}-41x+\frac{1681}{4}=-180+\frac{1681}{4}$$

-180 में \frac{1681}{4} को जोड़ें.

$$x^{2}-41x+\frac{1681}{4}=\frac{961}{4}$$

गुणक x^{2}-41x+\frac{1681}{4}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x-\frac{41}{2}\right)^{2}=\frac{961}{4}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x-\frac{41}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{4}}$$

सरल बनाएं.

$$x-\frac{41}{2}=\frac{31}{2} x-\frac{41}{2}=-\frac{31}{2}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{41}{2} जोड़ें.

$$x=36 x=5$$