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2x^{2}-2x=1
ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.
2x^{2}-2x-1=1-1
समीकरण के दोनों ओर से 1 घटाएं.
2x^{2}-2x-1=0
1 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.
x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}
यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 2, b के लिए -2 और द्विघात सूत्र में c के लिए -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}
वर्गमूल -2.
x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}
-4 को 2 बार गुणा करें.
x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}
-8 को -1 बार गुणा करें.
x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}
4 में 8 को जोड़ें.
x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}
12 का वर्गमूल लें.
x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}
-2 का विपरीत 2 है.
x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}
2 को 2 बार गुणा करें.
x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}
± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} को हल करें. 2 में 2\sqrt{3} को जोड़ें.
x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}
4 को 2+2\sqrt{3} से विभाजित करें.
x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}
± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} को हल करें. 2 में से 2\sqrt{3} को घटाएं.
x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}
4 को 2-2\sqrt{3} से विभाजित करें.
x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}
अब समीकरण का समाधान हो गया है.
2x^{2}-2x=1
इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.
\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}
दोनों ओर 2 से विभाजन करें.
x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}
2 से विभाजित करना 2 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.
x^{2}-x=\frac{1}{2}
2 को -2 से विभाजित करें.
x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}
-\frac{1}{2} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -1 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{1}{2} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.
x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}
भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{1}{2} का वर्ग करें.
x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}
सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{1}{2} में \frac{1}{4} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.
\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}
फ़ैक्‍टर x^{2}-x+\frac{1}{4}. सामान्यतः जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसे हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में फ़ैक्‍टर किया जा सकता है.
\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}
समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.
x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}
सरल बनाएं.
x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}
समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{2} जोड़ें.