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x के लिए हल करें (जटिल समाधान)
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2x^{2}-x+1=0
ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.
x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2}}{2\times 2}
यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 2, b के लिए -1 और द्विघात सूत्र में c के लिए 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8}}{2\times 2}
-4 को 2 बार गुणा करें.
x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-7}}{2\times 2}
1 में -8 को जोड़ें.
x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{7}i}{2\times 2}
-7 का वर्गमूल लें.
x=\frac{1±\sqrt{7}i}{2\times 2}
-1 का विपरीत 1 है.
x=\frac{1±\sqrt{7}i}{4}
2 को 2 बार गुणा करें.
x=\frac{1+\sqrt{7}i}{4}
± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{1±\sqrt{7}i}{4} को हल करें. 1 में i\sqrt{7} को जोड़ें.
x=\frac{-\sqrt{7}i+1}{4}
± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{1±\sqrt{7}i}{4} को हल करें. 1 में से i\sqrt{7} को घटाएं.
x=\frac{1+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+1}{4}
अब समीकरण का समाधान हो गया है.
2x^{2}-x+1=0
इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.
2x^{2}-x+1-1=-1
समीकरण के दोनों ओर से 1 घटाएं.
2x^{2}-x=-1
1 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.
\frac{2x^{2}-x}{2}=-\frac{1}{2}
दोनों ओर 2 से विभाजन करें.
x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{2}
2 से विभाजित करना 2 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.
x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}
-\frac{1}{4} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{1}{2} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{1}{4} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.
x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{16}
भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{1}{4} का वर्ग करें.
x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{7}{16}
सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर -\frac{1}{2} में \frac{1}{16} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.
\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}
गुणक x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.
\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}
समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.
x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}
सरल बनाएं.
x=\frac{1+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+1}{4}
समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{4} जोड़ें.