13n^2-41n-120=0 का समाधान करें

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

n के लिए हल करें

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1.846153846$$

$$n=5$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 13n^{2}+an+bn-120 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b ऋणात्मक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या में धनात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -1560 देते हैं.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

हल वह जोड़ी है जो -41 योग देती है.

$$a=-65 b=24$$

13n^{2}-41n-120 को \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

पहले समूह में 13n के और दूसरे समूह में 24 को गुणनखंड बनाएँ.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद n-5 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, n-5=0 और 13n+24=0 को हल करें.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 13, b के लिए -41 और द्विघात सूत्र में c के लिए -120, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

वर्गमूल -41.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

-4 को 13 बार गुणा करें.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

-52 को -120 बार गुणा करें.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

1681 में 6240 को जोड़ें.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

7921 का वर्गमूल लें.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

-41 का विपरीत 41 है.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

2 को 13 बार गुणा करें.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण n=\frac{41±89}{26} को हल करें. 41 में 89 को जोड़ें.

$$n=\frac{130}{26}$$

26 को 130 से विभाजित करें.

$$n=5$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण n=\frac{41±89}{26} को हल करें. 41 में से 89 को घटाएं.

$$n=-\frac{48}{26}$$

2 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-48}{26} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$n=-\frac{24}{13}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

समीकरण के दोनों ओर 120 जोड़ें.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

-120 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

0 में से -120 को घटाएं.

$$13n^{2}-41n=120$$

दोनों ओर 13 से विभाजन करें.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

13 से विभाजित करना 13 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

-\frac{41}{26} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{41}{13} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{41}{26} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{41}{26} का वर्ग करें.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{120}{13} में \frac{1681}{676} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

गुणक n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

सरल बनाएं.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{41}{26} जोड़ें.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$