120x^2+8000x-92000=0 का समाधान करें

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

x के लिए हल करें

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76.666666667$$

$$x=10$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर 40 से विभाजन करें.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 3x^{2}+ax+bx-2300 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -6900 देते हैं.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

हल वह जोड़ी है जो 200 योग देती है.

$$a=-30 b=230$$

3x^{2}+200x-2300 को \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

पहले समूह में 3x के और दूसरे समूह में 230 को गुणनखंड बनाएँ.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद x-10 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, x-10=0 और 3x+230=0 को हल करें.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 120, b के लिए 8000 और द्विघात सूत्र में c के लिए -92000, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

वर्गमूल 8000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

-4 को 120 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

-480 को -92000 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

64000000 में 44160000 को जोड़ें.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

108160000 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

2 को 120 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-8000±10400}{240} को हल करें. -8000 में 10400 को जोड़ें.

$$x=\frac{2400}{240}$$

240 को 2400 से विभाजित करें.

$$x=10$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-8000±10400}{240} को हल करें. -8000 में से 10400 को घटाएं.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

80 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-18400}{240} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=-\frac{230}{3}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

समीकरण के दोनों ओर 92000 जोड़ें.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

-92000 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

0 में से -92000 को घटाएं.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

दोनों ओर 120 से विभाजन करें.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

120 से विभाजित करना 120 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

40 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{8000}{120} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

40 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{92000}{120} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

\frac{100}{3} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक \frac{200}{3} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर \frac{100}{3} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके \frac{100}{3} का वर्ग करें.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{2300}{3} में \frac{10000}{9} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

गुणक x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

सरल बनाएं.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{100}{3} घटाएं.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$