12(n-4)-30=n^2-9n+12 का समाधान करें

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

n के लिए हल करें

$$n=6$$

$$n=15$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

n-4 से 12 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

-78 प्राप्त करने के लिए 30 में से -48 घटाएं.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

दोनों ओर से n^{2} घटाएँ.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

दोनों ओर 9n जोड़ें.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

21n प्राप्त करने के लिए 12n और 9n संयोजित करें.

$$21n-78-n^{2}=12$$

दोनों ओर से 12 घटाएँ.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

-90 प्राप्त करने के लिए 12 में से -78 घटाएं.

$$21n-90-n^{2}=0$$

बहुपद को मानक रूप में रखने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करें. टर्म को उच्चतम से निम्नतम घात के क्रम में रखें.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर -n^{2}+an+bn-90 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

चूँकि ab सकारात्मक है, a और b के पास एक ही चिह्न है. चूंकि a+b सकारात्मक है, a और b दोनों सकारात्मक हैं. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद 90 देते हैं.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

हल वह जोड़ी है जो 21 योग देती है.

$$a=15 b=6$$

-n^{2}+21n-90 को \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

पहले समूह में -n के और दूसरे समूह में 6 को गुणनखंड बनाएँ.

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद n-15 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

समीकरण के हल ढूँढने के लिए, n-15=0 और -n+6=0 को हल करें.

$$n=15 n=6$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

n-4 से 12 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

-78 प्राप्त करने के लिए 30 में से -48 घटाएं.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

दोनों ओर से n^{2} घटाएँ.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

दोनों ओर 9n जोड़ें.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

21n प्राप्त करने के लिए 12n और 9n संयोजित करें.

$$21n-78-n^{2}=12$$

दोनों ओर से 12 घटाएँ.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

-90 प्राप्त करने के लिए 12 में से -78 घटाएं.

$$21n-90-n^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न -1, b के लिए 21 और द्विघात सूत्र में c के लिए -90, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

वर्गमूल 21.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 को -1 बार गुणा करें.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 को -90 बार गुणा करें.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

441 में -360 को जोड़ें.

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

81 का वर्गमूल लें.

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

2 को -1 बार गुणा करें.

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण n=\frac{-21±9}{-2} को हल करें. -21 में 9 को जोड़ें.

$$n=-\frac{12}{-2}$$

-2 को -12 से विभाजित करें.

$$n=6$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण n=\frac{-21±9}{-2} को हल करें. -21 में से 9 को घटाएं.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

-2 को -30 से विभाजित करें.

$$n=15$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$n=6 n=15$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

n-4 से 12 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

-78 प्राप्त करने के लिए 30 में से -48 घटाएं.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

दोनों ओर से n^{2} घटाएँ.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

दोनों ओर 9n जोड़ें.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

21n प्राप्त करने के लिए 12n और 9n संयोजित करें.

$$21n-78-n^{2}=12$$

दोनों ओर 78 जोड़ें.

$$21n-n^{2}=12+78$$

90 को प्राप्त करने के लिए 12 और 78 को जोड़ें.

$$21n-n^{2}=90$$

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$-n^{2}+21n=90$$

दोनों ओर -1 से विभाजन करें.

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

-1 से विभाजित करना -1 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

-1 को 21 से विभाजित करें.

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

-1 को 90 से विभाजित करें.

$$n^{2}-21n=-90$$

-\frac{21}{2} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -21 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{21}{2} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{21}{2} का वर्ग करें.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

-90 में \frac{441}{4} को जोड़ें.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

फ़ैक्‍टर n^{2}-21n+\frac{441}{4}. सामान्यतः जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसे हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में फ़ैक्‍टर किया जा सकता है.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

सरल बनाएं.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{21}{2} जोड़ें.

$$n=15 n=6$$