11y=3y^2-4 का समाधान करें

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

y के लिए हल करें

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर से 3y^{2} घटाएँ.

$$11y-3y^{2}=-4$$

दोनों ओर 4 जोड़ें.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

बहुपद को मानक रूप में रखने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करें. टर्म को उच्चतम से निम्नतम घात के क्रम में रखें.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर -3y^{2}+ay+by+4 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -12 देते हैं.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

हल वह जोड़ी है जो 11 योग देती है.

$$a=12 b=-1$$

-3y^{2}+11y+4 को \left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

-3y^{2}+12y में 3y को गुणनखंड बनाएँ.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद -y+4 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, -y+4=0 और 3y+1=0 को हल करें.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

दोनों ओर से 3y^{2} घटाएँ.

$$11y-3y^{2}=-4$$

दोनों ओर 4 जोड़ें.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न -3, b के लिए 11 और द्विघात सूत्र में c के लिए 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

वर्गमूल 11.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

-4 को -3 बार गुणा करें.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

12 को 4 बार गुणा करें.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

121 में 48 को जोड़ें.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

169 का वर्गमूल लें.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

2 को -3 बार गुणा करें.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण y=\frac{-11±13}{-6} को हल करें. -11 में 13 को जोड़ें.

$$y=\frac{2}{-6}$$

2 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{2}{-6} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$y=-\frac{1}{3}$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण y=\frac{-11±13}{-6} को हल करें. -11 में से 13 को घटाएं.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

-6 को -24 से विभाजित करें.

$$y=4$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

दोनों ओर से 3y^{2} घटाएँ.

$$11y-3y^{2}=-4$$

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

दोनों ओर -3 से विभाजन करें.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

-3 से विभाजित करना -3 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

-3 को 11 से विभाजित करें.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

-3 को -4 से विभाजित करें.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

-\frac{11}{6} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{11}{3} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{11}{6} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{11}{6} का वर्ग करें.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{4}{3} में \frac{121}{36} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

गुणक y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

सरल बनाएं.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{11}{6} जोड़ें.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$