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x के लिए हल करें
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a+b=-590 ab=1000\left(-561\right)=-561000
समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 1000x^{2}+ax+bx-561 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.
1,-561000 2,-280500 3,-187000 4,-140250 5,-112200 6,-93500 8,-70125 10,-56100 11,-51000 12,-46750 15,-37400 17,-33000 20,-28050 22,-25500 24,-23375 25,-22440 30,-18700 33,-17000 34,-16500 40,-14025 44,-12750 50,-11220 51,-11000 55,-10200 60,-9350 66,-8500 68,-8250 75,-7480 85,-6600 88,-6375 100,-5610 102,-5500 110,-5100 120,-4675 125,-4488 132,-4250 136,-4125 150,-3740 165,-3400 170,-3300 187,-3000 200,-2805 204,-2750 220,-2550 250,-2244 255,-2200 264,-2125 275,-2040 300,-1870 330,-1700 340,-1650 374,-1500 375,-1496 408,-1375 425,-1320 440,-1275 500,-1122 510,-1100 550,-1020 561,-1000 600,-935 660,-850 680,-825 748,-750
चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b ऋणात्मक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या में धनात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -561000 देते हैं.
1-561000=-560999 2-280500=-280498 3-187000=-186997 4-140250=-140246 5-112200=-112195 6-93500=-93494 8-70125=-70117 10-56100=-56090 11-51000=-50989 12-46750=-46738 15-37400=-37385 17-33000=-32983 20-28050=-28030 22-25500=-25478 24-23375=-23351 25-22440=-22415 30-18700=-18670 33-17000=-16967 34-16500=-16466 40-14025=-13985 44-12750=-12706 50-11220=-11170 51-11000=-10949 55-10200=-10145 60-9350=-9290 66-8500=-8434 68-8250=-8182 75-7480=-7405 85-6600=-6515 88-6375=-6287 100-5610=-5510 102-5500=-5398 110-5100=-4990 120-4675=-4555 125-4488=-4363 132-4250=-4118 136-4125=-3989 150-3740=-3590 165-3400=-3235 170-3300=-3130 187-3000=-2813 200-2805=-2605 204-2750=-2546 220-2550=-2330 250-2244=-1994 255-2200=-1945 264-2125=-1861 275-2040=-1765 300-1870=-1570 330-1700=-1370 340-1650=-1310 374-1500=-1126 375-1496=-1121 408-1375=-967 425-1320=-895 440-1275=-835 500-1122=-622 510-1100=-590 550-1020=-470 561-1000=-439 600-935=-335 660-850=-190 680-825=-145 748-750=-2
प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.
a=-1100 b=510
हल वह जोड़ी है जो -590 योग देती है.
\left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)
1000x^{2}-590x-561 को \left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right) के रूप में फिर से लिखें.
100x\left(10x-11\right)+51\left(10x-11\right)
पहले समूह में 100x के और दूसरे समूह में 51 को गुणनखंड बनाएँ.
\left(10x-11\right)\left(100x+51\right)
विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद 10x-11 के गुणनखंड बनाएँ.
x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}
समीकरण के हल ढूँढने के लिए, 10x-11=0 और 100x+51=0 को हल करें.
1000x^{2}-590x-561=0
ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.
x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{\left(-590\right)^{2}-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}
यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 1000, b के लिए -590 और द्विघात सूत्र में c के लिए -561, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}
वर्गमूल -590.
x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4000\left(-561\right)}}{2\times 1000}
-4 को 1000 बार गुणा करें.
x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100+2244000}}{2\times 1000}
-4000 को -561 बार गुणा करें.
x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{2592100}}{2\times 1000}
348100 में 2244000 को जोड़ें.
x=\frac{-\left(-590\right)±1610}{2\times 1000}
2592100 का वर्गमूल लें.
x=\frac{590±1610}{2\times 1000}
-590 का विपरीत 590 है.
x=\frac{590±1610}{2000}
2 को 1000 बार गुणा करें.
x=\frac{2200}{2000}
± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{590±1610}{2000} को हल करें. 590 में 1610 को जोड़ें.
x=\frac{11}{10}
200 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{2200}{2000} को न्यूनतम पदों तक कम करें.
x=-\frac{1020}{2000}
± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{590±1610}{2000} को हल करें. 590 में से 1610 को घटाएं.
x=-\frac{51}{100}
20 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-1020}{2000} को न्यूनतम पदों तक कम करें.
x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}
अब समीकरण का समाधान हो गया है.
1000x^{2}-590x-561=0
इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.
1000x^{2}-590x-561-\left(-561\right)=-\left(-561\right)
समीकरण के दोनों ओर 561 जोड़ें.
1000x^{2}-590x=-\left(-561\right)
-561 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.
1000x^{2}-590x=561
0 में से -561 को घटाएं.
\frac{1000x^{2}-590x}{1000}=\frac{561}{1000}
दोनों ओर 1000 से विभाजन करें.
x^{2}+\left(-\frac{590}{1000}\right)x=\frac{561}{1000}
1000 से विभाजित करना 1000 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.
x^{2}-\frac{59}{100}x=\frac{561}{1000}
10 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-590}{1000} को न्यूनतम पदों तक कम करें.
x^{2}-\frac{59}{100}x+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{561}{1000}+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}
-\frac{59}{200} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{59}{100} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{59}{200} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.
x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{561}{1000}+\frac{3481}{40000}
भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{59}{200} का वर्ग करें.
x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{25921}{40000}
सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{561}{1000} में \frac{3481}{40000} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.
\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{25921}{40000}
फ़ैक्‍टर x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}. सामान्यतः जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसे हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में फ़ैक्‍टर किया जा सकता है.
\sqrt{\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25921}{40000}}
समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.
x-\frac{59}{200}=\frac{161}{200} x-\frac{59}{200}=-\frac{161}{200}
सरल बनाएं.
x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}
समीकरण के दोनों ओर \frac{59}{200} जोड़ें.