1000x^2-590x-561=0 का समाधान करें

$$1000 { x }^{ 2 } -590x-561=0$$

x के लिए हल करें

$$x=-\frac{51}{100}=-0.51$$

$$x = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1.1$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 1000x^{2}+ax+bx-561 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-590 ab=1000\left(-561\right)=-561000$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b ऋणात्मक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या में धनात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -561000 देते हैं.

$$1,-561000 2,-280500 3,-187000 4,-140250 5,-112200 6,-93500 8,-70125 10,-56100 11,-51000 12,-46750 15,-37400 17,-33000 20,-28050 22,-25500 24,-23375 25,-22440 30,-18700 33,-17000 34,-16500 40,-14025 44,-12750 50,-11220 51,-11000 55,-10200 60,-9350 66,-8500 68,-8250 75,-7480 85,-6600 88,-6375 100,-5610 102,-5500 110,-5100 120,-4675 125,-4488 132,-4250 136,-4125 150,-3740 165,-3400 170,-3300 187,-3000 200,-2805 204,-2750 220,-2550 250,-2244 255,-2200 264,-2125 275,-2040 300,-1870 330,-1700 340,-1650 374,-1500 375,-1496 408,-1375 425,-1320 440,-1275 500,-1122 510,-1100 550,-1020 561,-1000 600,-935 660,-850 680,-825 748,-750$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$1-561000=-560999 2-280500=-280498 3-187000=-186997 4-140250=-140246 5-112200=-112195 6-93500=-93494 8-70125=-70117 10-56100=-56090 11-51000=-50989 12-46750=-46738 15-37400=-37385 17-33000=-32983 20-28050=-28030 22-25500=-25478 24-23375=-23351 25-22440=-22415 30-18700=-18670 33-17000=-16967 34-16500=-16466 40-14025=-13985 44-12750=-12706 50-11220=-11170 51-11000=-10949 55-10200=-10145 60-9350=-9290 66-8500=-8434 68-8250=-8182 75-7480=-7405 85-6600=-6515 88-6375=-6287 100-5610=-5510 102-5500=-5398 110-5100=-4990 120-4675=-4555 125-4488=-4363 132-4250=-4118 136-4125=-3989 150-3740=-3590 165-3400=-3235 170-3300=-3130 187-3000=-2813 200-2805=-2605 204-2750=-2546 220-2550=-2330 250-2244=-1994 255-2200=-1945 264-2125=-1861 275-2040=-1765 300-1870=-1570 330-1700=-1370 340-1650=-1310 374-1500=-1126 375-1496=-1121 408-1375=-967 425-1320=-895 440-1275=-835 500-1122=-622 510-1100=-590 550-1020=-470 561-1000=-439 600-935=-335 660-850=-190 680-825=-145 748-750=-2$$

हल वह जोड़ी है जो -590 योग देती है.

$$a=-1100 b=510$$

1000x^{2}-590x-561 को \left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)$$

पहले समूह में 100x के और दूसरे समूह में 51 को गुणनखंड बनाएँ.

$$100x\left(10x-11\right)+51\left(10x-11\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद 10x-11 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(10x-11\right)\left(100x+51\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, 10x-11=0 और 100x+51=0 को हल करें.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 1000, b के लिए -590 और द्विघात सूत्र में c के लिए -561, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{\left(-590\right)^{2}-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

वर्गमूल -590.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

-4 को 1000 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

-4000 को -561 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100+2244000}}{2\times 1000}$$

348100 में 2244000 को जोड़ें.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{2592100}}{2\times 1000}$$

2592100 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±1610}{2\times 1000}$$

-590 का विपरीत 590 है.

$$x=\frac{590±1610}{2\times 1000}$$

2 को 1000 बार गुणा करें.

$$x=\frac{590±1610}{2000}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{590±1610}{2000} को हल करें. 590 में 1610 को जोड़ें.

$$x=\frac{2200}{2000}$$

200 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{2200}{2000} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=\frac{11}{10}$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{590±1610}{2000} को हल करें. 590 में से 1610 को घटाएं.

$$x=-\frac{1020}{2000}$$

20 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-1020}{2000} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=-\frac{51}{100}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

समीकरण के दोनों ओर 561 जोड़ें.

$$1000x^{2}-590x-561-\left(-561\right)=-\left(-561\right)$$

-561 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.

$$1000x^{2}-590x=-\left(-561\right)$$

0 में से -561 को घटाएं.

$$1000x^{2}-590x=561$$

दोनों ओर 1000 से विभाजन करें.

$$\frac{1000x^{2}-590x}{1000}=\frac{561}{1000}$$

1000 से विभाजित करना 1000 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\left(-\frac{590}{1000}\right)x=\frac{561}{1000}$$

10 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-590}{1000} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x=\frac{561}{1000}$$

-\frac{59}{200} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{59}{100} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{59}{200} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{561}{1000}+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{59}{200} का वर्ग करें.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{561}{1000}+\frac{3481}{40000}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{561}{1000} में \frac{3481}{40000} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{25921}{40000}$$

गुणक x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{25921}{40000}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25921}{40000}}$$

सरल बनाएं.

$$x-\frac{59}{200}=\frac{161}{200} x-\frac{59}{200}=-\frac{161}{200}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{59}{200} जोड़ें.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$