0=4x^2-x-3 का समाधान करें

$$0 = 4 x ^ { 2 } - x - 3$$

x के लिए हल करें

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=1$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$4x^{2}-x-3=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 4x^{2}+ax+bx-3 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-1 ab=4\left(-3\right)=-12$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b ऋणात्मक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या में धनात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -12 देते हैं.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

हल वह जोड़ी है जो -1 योग देती है.

$$a=-4 b=3$$

4x^{2}-x-3 को \left(4x^{2}-4x\right)+\left(3x-3\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(3x-3\right)$$

पहले समूह में 4x के और दूसरे समूह में 3 को गुणनखंड बनाएँ.

$$4x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद x-1 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(x-1\right)\left(4x+3\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, x-1=0 और 4x+3=0 को हल करें.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$4x^{2}-x-3=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 4, b के लिए -1 और द्विघात सूत्र में c के लिए -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

-4 को 4 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

-16 को -3 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 4}$$

1 में 48 को जोड़ें.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

49 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 4}$$

-1 का विपरीत 1 है.

$$x=\frac{1±7}{2\times 4}$$

2 को 4 बार गुणा करें.

$$x=\frac{1±7}{8}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{1±7}{8} को हल करें. 1 में 7 को जोड़ें.

$$x=\frac{8}{8}$$

8 को 8 से विभाजित करें.

$$x=1$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{1±7}{8} को हल करें. 1 में से 7 को घटाएं.

$$x=-\frac{6}{8}$$

2 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-6}{8} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=-\frac{3}{4}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$4x^{2}-x-3=0$$

दोनों ओर 3 जोड़ें. किसी भी संख्या में शून्य जोड़ने पर परिणाम वही आता है.

$$4x^{2}-x=3$$

दोनों ओर 4 से विभाजन करें.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{3}{4}$$

4 से विभाजित करना 4 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{3}{4}$$

-\frac{1}{8} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{1}{4} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{1}{8} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{1}{8} का वर्ग करें.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{3}{4}+\frac{1}{64}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{3}{4} में \frac{1}{64} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{49}{64}$$

गुणक x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

सरल बनाएं.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{7}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{7}{8}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{8} जोड़ें.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$