0=3x^2+2x-5 का समाधान करें

$$0 = 3 x ^ { 2 } + 2 x - 5$$

x के लिए हल करें

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=1$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$3x^{2}+2x-5=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 3x^{2}+ax+bx-5 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=2 ab=3\left(-5\right)=-15$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -15 देते हैं.

$$-1,15 -3,5$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

हल वह जोड़ी है जो 2 योग देती है.

$$a=-3 b=5$$

3x^{2}+2x-5 को \left(3x^{2}-3x\right)+\left(5x-5\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(5x-5\right)$$

पहले समूह में 3x के और दूसरे समूह में 5 को गुणनखंड बनाएँ.

$$3x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद x-1 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(x-1\right)\left(3x+5\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, x-1=0 और 3x+5=0 को हल करें.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$3x^{2}+2x-5=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 3, b के लिए 2 और द्विघात सूत्र में c के लिए -5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

वर्गमूल 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

-4 को 3 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

-12 को -5 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2\times 3}$$

4 में 60 को जोड़ें.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2\times 3}$$

64 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-2±8}{2\times 3}$$

2 को 3 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-2±8}{6}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-2±8}{6} को हल करें. -2 में 8 को जोड़ें.

$$x=\frac{6}{6}$$

6 को 6 से विभाजित करें.

$$x=1$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-2±8}{6} को हल करें. -2 में से 8 को घटाएं.

$$x=-\frac{10}{6}$$

2 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-10}{6} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=-\frac{5}{3}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$3x^{2}+2x-5=0$$

दोनों ओर 5 जोड़ें. किसी भी संख्या में शून्य जोड़ने पर परिणाम वही आता है.

$$3x^{2}+2x=5$$

दोनों ओर 3 से विभाजन करें.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=\frac{5}{3}$$

3 से विभाजित करना 3 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}$$

\frac{1}{3} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक \frac{2}{3} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{3} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके \frac{1}{3} का वर्ग करें.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{5}{3}+\frac{1}{9}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{5}{3} में \frac{1}{9} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{9}$$

गुणक x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

सरल बनाएं.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{4}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{1}{3} घटाएं.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$