-3x^2+5x+2geq0 का समाधान करें

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x + 2 \geq 0$$

x के लिए हल करें

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

असमानता की -1 से गुणा करें जिससे -3x^{2}+5x+2 में उच्चतम घात के गुणांक को धनात्मक बनाया जा सके. चूँकि -1 ऋणात्मक है, इसलिए असमानता की दिशा परिवर्तित की गई है.

$$3x^{2}-5x-2\leq 0$$

असमानता हल करने के लिए, बाएँ हाथ तरफ फ़ैक्टर करें. ट्रांसफॉर्मेशन ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) का उपयोग करके द्विघात बहुपद को भाजित किया जा सकता है, जहाँ x_{1} और x_{2} द्विघात समीकरण ax^{2}+bx+c=0 का हल है.

$$3x^{2}-5x-2=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 3, b के लिए -5, और c के लिए -2 प्रतिस्थापित करें.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

परिकलन करें.

$$x=\frac{5±7}{6}$$

समीकरण x=\frac{5±7}{6} को हल करें जब ± धन है और जब ± ऋण है.

$$x=2 x=-\frac{1}{3}$$

प्राप्त हल का उपयोग करके असमानता को फिर से लिखें.

$$3\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\leq 0$$

गुणनफल को ≤0 होने के लिए, x-2 और x+\frac{1}{3} में से किसी एक मान को ≥0 होना चाहिए और दूसरे को ≤0 होना चाहिए. जब x-2\geq 0 और x+\frac{1}{3}\leq 0 होने पर मामले पर विचार करें.

$$x-2\geq 0 x+\frac{1}{3}\leq 0$$

किसी भी x के लिए यह असत्य है.

$$x\in \emptyset$$

जब x-2\leq 0 और x+\frac{1}{3}\geq 0 होने पर मामले पर विचार करें.

$$x+\frac{1}{3}\geq 0 x-2\leq 0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल x\in \left[-\frac{1}{3},2\right] है.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

प्राप्त किए गए समाधानों का अंतिम हल संघ है.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$