-2x^2+12x-14>0 का समाधान करें

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

x के लिए हल करें

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

असमानता की -1 से गुणा करें जिससे -2x^{2}+12x-14 में उच्चतम घात के गुणांक को धनात्मक बनाया जा सके. चूँकि -1 ऋणात्मक है, इसलिए असमानता की दिशा परिवर्तित की गई है.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

असमानता हल करने के लिए, बाएँ हाथ तरफ फ़ैक्टर करें. ट्रांसफॉर्मेशन ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) का उपयोग करके द्विघात बहुपद को भाजित किया जा सकता है, जहाँ x_{1} और x_{2} द्विघात समीकरण ax^{2}+bx+c=0 का हल है.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 2, b के लिए -12, और c के लिए 14 प्रतिस्थापित करें.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

परिकलन करें.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

समीकरण x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} को हल करें जब ± धन है और जब ± ऋण है.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

प्राप्त हल का उपयोग करके असमानता को फिर से लिखें.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

गुणनफल को ऋणात्मक होने के लिए, x-\left(\sqrt{2}+3\right) और x-\left(3-\sqrt{2}\right) को विपरीत चिह्न होना चाहिए. जब x-\left(\sqrt{2}+3\right) धनात्मक हो और x-\left(3-\sqrt{2}\right) ऋणात्मक हो, तो केस पर विचार करे.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

किसी भी x के लिए यह असत्य है.

$$x\in \emptyset$$

जब x-\left(3-\sqrt{2}\right) धनात्मक हो और x-\left(\sqrt{2}+3\right) ऋणात्मक हो, तो केस पर विचार करे.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right) है.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

प्राप्त किए गए समाधानों का अंतिम हल संघ है.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$