-12x^2-36x+31geq0 का समाधान करें

$$- 12 x ^ { 2 } - 36 x + 31 \geq 0$$

x के लिए हल करें

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

असमानता की -1 से गुणा करें जिससे -12x^{2}-36x+31 में उच्चतम घात के गुणांक को धनात्मक बनाया जा सके. चूँकि -1 ऋणात्मक है, इसलिए असमानता की दिशा परिवर्तित की गई है.

$$12x^{2}+36x-31\leq 0$$

असमानता हल करने के लिए, बाएँ हाथ तरफ फ़ैक्टर करें. ट्रांसफॉर्मेशन ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) का उपयोग करके द्विघात बहुपद को भाजित किया जा सकता है, जहाँ x_{1} और x_{2} द्विघात समीकरण ax^{2}+bx+c=0 का हल है.

$$12x^{2}+36x-31=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 12, b के लिए 36, और c के लिए -31 प्रतिस्थापित करें.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-31\right)}}{2\times 12}$$

परिकलन करें.

$$x=\frac{-36±4\sqrt{174}}{24}$$

समीकरण x=\frac{-36±4\sqrt{174}}{24} को हल करें जब ± धन है और जब ± ऋण है.

$$x=\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}$$

प्राप्त हल का उपयोग करके असमानता को फिर से लिखें.

$$12\left(x-\left(\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\right)\leq 0$$

गुणनफल को ≤0 होने के लिए, x-\left(\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right) और x-\left(-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right) में से किसी एक मान को ≥0 होना चाहिए और दूसरे को ≤0 होना चाहिए. जब x-\left(\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\geq 0 और x-\left(-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\leq 0 होने पर मामले पर विचार करें.

$$x-\left(\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\geq 0 x-\left(-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\leq 0$$

किसी भी x के लिए यह असत्य है.

$$x\in \emptyset$$

जब x-\left(\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\leq 0 और x-\left(-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\geq 0 होने पर मामले पर विचार करें.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\geq 0 x-\left(\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\leq 0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल x\in \left[-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right] है.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$

प्राप्त किए गए समाधानों का अंतिम हल संघ है.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$