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x के लिए हल करें (जटिल समाधान)
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-x^{2}+x+1=5
ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.
-x^{2}+x+1-5=5-5
समीकरण के दोनों ओर से 5 घटाएं.
-x^{2}+x+1-5=0
5 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.
-x^{2}+x-4=0
1 में से 5 को घटाएं.
x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-4\right)}}{2\left(-1\right)}
यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न -1, b के लिए 1 और द्विघात सूत्र में c के लिए -4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-4\right)}}{2\left(-1\right)}
वर्गमूल 1.
x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-4\right)}}{2\left(-1\right)}
-4 को -1 बार गुणा करें.
x=\frac{-1±\sqrt{1-16}}{2\left(-1\right)}
4 को -4 बार गुणा करें.
x=\frac{-1±\sqrt{-15}}{2\left(-1\right)}
1 में -16 को जोड़ें.
x=\frac{-1±\sqrt{15}i}{2\left(-1\right)}
-15 का वर्गमूल लें.
x=\frac{-1±\sqrt{15}i}{-2}
2 को -1 बार गुणा करें.
x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{-2}
± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-1±\sqrt{15}i}{-2} को हल करें. -1 में i\sqrt{15} को जोड़ें.
x=\frac{-\sqrt{15}i+1}{2}
-2 को -1+i\sqrt{15} से विभाजित करें.
x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{-2}
± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-1±\sqrt{15}i}{-2} को हल करें. -1 में से i\sqrt{15} को घटाएं.
x=\frac{1+\sqrt{15}i}{2}
-2 को -1-i\sqrt{15} से विभाजित करें.
x=\frac{-\sqrt{15}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{15}i}{2}
अब समीकरण का समाधान हो गया है.
-x^{2}+x+1=5
इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.
-x^{2}+x+1-1=5-1
समीकरण के दोनों ओर से 1 घटाएं.
-x^{2}+x=5-1
1 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.
-x^{2}+x=4
5 में से 1 को घटाएं.
\frac{-x^{2}+x}{-1}=\frac{4}{-1}
दोनों ओर -1 से विभाजन करें.
x^{2}+\frac{1}{-1}x=\frac{4}{-1}
-1 से विभाजित करना -1 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.
x^{2}-x=\frac{4}{-1}
-1 को 1 से विभाजित करें.
x^{2}-x=-4
-1 को 4 से विभाजित करें.
x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}
-\frac{1}{2} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -1 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{1}{2} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.
x^{2}-x+\frac{1}{4}=-4+\frac{1}{4}
भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{1}{2} का वर्ग करें.
x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{15}{4}
-4 में \frac{1}{4} को जोड़ें.
\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{15}{4}
गुणक x^{2}-x+\frac{1}{4}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.
\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{4}}
समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.
x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{15}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{15}i}{2}
सरल बनाएं.
x=\frac{1+\sqrt{15}i}{2} x=\frac{-\sqrt{15}i+1}{2}
समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{2} जोड़ें.