(y+y^3/3+x^2/2)dx+1/4(x+xy^2)dy=0 का समाधान करें

$$( y + \frac { y ^ { 3 } } { 3 } + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } ) d x + \frac { 1 } { 4 } ( x + x y ^ { 2 } ) d y = 0$$

d के लिए हल करें

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{R}\text{, }&x=0\text{ or }y=\frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}-3x^{2}}-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}+3x^{2}}\right)\end{matrix}\right.$$

रैखिक समीकरण हल करने के लिए चरण

समीकरण के दोनों ओर 12 से गुणा करें, जो कि 3,2,4 का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$12\left(y+\frac{y^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

व्यंजकों को जोड़ने या घटाने के लिए, उन्हें उनके विभाजकों को समान करने के लिए विस्तृत करें. 3 और 2 का लघुत्तम समापवर्त्य 6 है. \frac{y^{3}}{3} को \frac{2}{2} बार गुणा करें. \frac{x^{2}}{2} को \frac{3}{3} बार गुणा करें.

$$12\left(y+\frac{2y^{3}}{6}+\frac{3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

चूँकि \frac{2y^{3}}{6} और \frac{3x^{2}}{6} के पास समान भिन्न हैं, उनके अंशों को जोड़कर उन्हें जोड़ें.

$$12\left(y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6} से 12 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$\left(12y+12\times \frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

12 और 6 में महत्तम समापवर्तक 6 को रद्द कर दें.

$$\left(12y+2\left(2y^{3}+3x^{2}\right)\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

2y^{3}+3x^{2} से 2 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$\left(12y+4y^{3}+6x^{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

d से 12y+4y^{3}+6x^{2} गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$\left(12yd+4y^{3}d+6x^{2}d\right)x+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

x से 12yd+4y^{3}d+6x^{2}d गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

x+xy^{2} से 3 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3x+3xy^{2}\right)dy=0$$

d से 3x+3xy^{2} गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3xd+3xy^{2}d\right)y=0$$

y से 3xd+3xy^{2}d गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy+3xdy^{3}=0$$

15ydx प्राप्त करने के लिए 12ydx और 3xdy संयोजित करें.

$$15ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy^{3}=0$$

7y^{3}dx प्राप्त करने के लिए 4y^{3}dx और 3xdy^{3} संयोजित करें.

$$15ydx+7y^{3}dx+6dx^{3}=0$$

d को शामिल करने वाले सभी पदों को संयोजित करें.

$$\left(15yx+7y^{3}x+6x^{3}\right)d=0$$

समीकरण मानक रूप में है.

$$\left(6x^{3}+7xy^{3}+15xy\right)d=0$$

15yx+7y^{3}x+6x^{3} को 0 से विभाजित करें.

$$d=0$$

x के लिए हल करें

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{; }x=-\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{, }&y\leq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }&d=0\end{matrix}\right.$$