(x)=2(x-1)^2+1 का समाधान करें

$$( x ) = 2 ( x - 1 ) ^ { 2 } + 1$$

x के लिए हल करें

$$x=1$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

\left(x-1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$x=2\left(x^{2}-2x+1\right)+1$$

x^{2}-2x+1 से 2 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$x=2x^{2}-4x+2+1$$

3 को प्राप्त करने के लिए 2 और 1 को जोड़ें.

$$x=2x^{2}-4x+3$$

दोनों ओर से 2x^{2} घटाएँ.

$$x-2x^{2}=-4x+3$$

दोनों ओर 4x जोड़ें.

$$x-2x^{2}+4x=3$$

5x प्राप्त करने के लिए x और 4x संयोजित करें.

$$5x-2x^{2}=3$$

दोनों ओर से 3 घटाएँ.

$$5x-2x^{2}-3=0$$

बहुपद को मानक रूप में रखने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करें. टर्म को उच्चतम से निम्नतम घात के क्रम में रखें.

$$-2x^{2}+5x-3=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर -2x^{2}+ax+bx-3 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=5 ab=-2\left(-3\right)=6$$

चूँकि ab सकारात्मक है, a और b के पास एक ही चिह्न है. चूंकि a+b सकारात्मक है, a और b दोनों सकारात्मक हैं. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद 6 देते हैं.

$$1,6 2,3$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$1+6=7 2+3=5$$

हल वह जोड़ी है जो 5 योग देती है.

$$a=3 b=2$$

-2x^{2}+5x-3 को \left(-2x^{2}+3x\right)+\left(2x-3\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(-2x^{2}+3x\right)+\left(2x-3\right)$$

-2x^{2}+3x में -x को गुणनखंड बनाएँ.

$$-x\left(2x-3\right)+2x-3$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद 2x-3 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(2x-3\right)\left(-x+1\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, 2x-3=0 और -x+1=0 को हल करें.

$$x=\frac{3}{2} x=1$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

\left(x-1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$x=2\left(x^{2}-2x+1\right)+1$$

x^{2}-2x+1 से 2 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$x=2x^{2}-4x+2+1$$

3 को प्राप्त करने के लिए 2 और 1 को जोड़ें.

$$x=2x^{2}-4x+3$$

दोनों ओर से 2x^{2} घटाएँ.

$$x-2x^{2}=-4x+3$$

दोनों ओर 4x जोड़ें.

$$x-2x^{2}+4x=3$$

5x प्राप्त करने के लिए x और 4x संयोजित करें.

$$5x-2x^{2}=3$$

दोनों ओर से 3 घटाएँ.

$$5x-2x^{2}-3=0$$

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$-2x^{2}+5x-3=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न -2, b के लिए 5 और द्विघात सूत्र में c के लिए -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

वर्गमूल 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

-4 को -2 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+8\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

8 को -3 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\left(-2\right)}$$

25 में -24 को जोड़ें.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\left(-2\right)}$$

1 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-5±1}{2\left(-2\right)}$$

2 को -2 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-5±1}{-4}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-5±1}{-4} को हल करें. -5 में 1 को जोड़ें.

$$x=-\frac{4}{-4}$$

-4 को -4 से विभाजित करें.

$$x=1$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-5±1}{-4} को हल करें. -5 में से 1 को घटाएं.

$$x=-\frac{6}{-4}$$

2 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-6}{-4} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=\frac{3}{2}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=1 x=\frac{3}{2}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

\left(x-1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$x=2\left(x^{2}-2x+1\right)+1$$

x^{2}-2x+1 से 2 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$x=2x^{2}-4x+2+1$$

3 को प्राप्त करने के लिए 2 और 1 को जोड़ें.

$$x=2x^{2}-4x+3$$

दोनों ओर से 2x^{2} घटाएँ.

$$x-2x^{2}=-4x+3$$

दोनों ओर 4x जोड़ें.

$$x-2x^{2}+4x=3$$

5x प्राप्त करने के लिए x और 4x संयोजित करें.

$$5x-2x^{2}=3$$

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$-2x^{2}+5x=3$$

दोनों ओर -2 से विभाजन करें.

$$\frac{-2x^{2}+5x}{-2}=\frac{3}{-2}$$

-2 से विभाजित करना -2 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\frac{5}{-2}x=\frac{3}{-2}$$

-2 को 5 से विभाजित करें.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{3}{-2}$$

-2 को 3 से विभाजित करें.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{3}{2}$$

-\frac{5}{4} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{5}{2} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{5}{4} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{5}{4} का वर्ग करें.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर -\frac{3}{2} में \frac{25}{16} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1}{16}$$

गुणक x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

सरल बनाएं.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{1}{4}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{5}{4} जोड़ें.

$$x=\frac{3}{2} x=1$$