(x+6)-(3x+1)^2=1 का समाधान करें

$$( x + 6 ) - ( 3 x + 1 ) ^ { 2 } = 1$$

x के लिए हल करें

$$x=-1$$

$$x=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

\left(3x+1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$x+6-\left(9x^{2}+6x+1\right)=1$$

9x^{2}+6x+1 का विपरीत ढूँढने के लिए, प्रत्येक पद का विपरीत ढूँढें.

$$x+6-9x^{2}-6x-1=1$$

-5x प्राप्त करने के लिए x और -6x संयोजित करें.

$$-5x+6-9x^{2}-1=1$$

5 प्राप्त करने के लिए 1 में से 6 घटाएं.

$$-5x+5-9x^{2}=1$$

दोनों ओर से 1 घटाएँ.

$$-5x+5-9x^{2}-1=0$$

4 प्राप्त करने के लिए 1 में से 5 घटाएं.

$$-5x+4-9x^{2}=0$$

बहुपद को मानक रूप में रखने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करें. टर्म को उच्चतम से निम्नतम घात के क्रम में रखें.

$$-9x^{2}-5x+4=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर -9x^{2}+ax+bx+4 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-5 ab=-9\times 4=-36$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b ऋणात्मक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या में धनात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -36 देते हैं.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

हल वह जोड़ी है जो -5 योग देती है.

$$a=4 b=-9$$

-9x^{2}-5x+4 को \left(-9x^{2}+4x\right)+\left(-9x+4\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(-9x^{2}+4x\right)+\left(-9x+4\right)$$

पहले समूह में -x के और दूसरे समूह में -1 को गुणनखंड बनाएँ.

$$-x\left(9x-4\right)-\left(9x-4\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद 9x-4 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(9x-4\right)\left(-x-1\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, 9x-4=0 और -x-1=0 को हल करें.

$$x=\frac{4}{9} x=-1$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

\left(3x+1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$x+6-\left(9x^{2}+6x+1\right)=1$$

9x^{2}+6x+1 का विपरीत ढूँढने के लिए, प्रत्येक पद का विपरीत ढूँढें.

$$x+6-9x^{2}-6x-1=1$$

-5x प्राप्त करने के लिए x और -6x संयोजित करें.

$$-5x+6-9x^{2}-1=1$$

5 प्राप्त करने के लिए 1 में से 6 घटाएं.

$$-5x+5-9x^{2}=1$$

दोनों ओर से 1 घटाएँ.

$$-5x+5-9x^{2}-1=0$$

4 प्राप्त करने के लिए 1 में से 5 घटाएं.

$$-5x+4-9x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$-9x^{2}-5x+4=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न -9, b के लिए -5 और द्विघात सूत्र में c के लिए 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 4}}{2\left(-9\right)}$$

वर्गमूल -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-9\right)\times 4}}{2\left(-9\right)}$$

-4 को -9 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+36\times 4}}{2\left(-9\right)}$$

36 को 4 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\left(-9\right)}$$

25 में 144 को जोड़ें.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\left(-9\right)}$$

169 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\left(-9\right)}$$

-5 का विपरीत 5 है.

$$x=\frac{5±13}{2\left(-9\right)}$$

2 को -9 बार गुणा करें.

$$x=\frac{5±13}{-18}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{5±13}{-18} को हल करें. 5 में 13 को जोड़ें.

$$x=\frac{18}{-18}$$

-18 को 18 से विभाजित करें.

$$x=-1$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{5±13}{-18} को हल करें. 5 में से 13 को घटाएं.

$$x=-\frac{8}{-18}$$

2 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-8}{-18} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=\frac{4}{9}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=-1 x=\frac{4}{9}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

\left(3x+1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$x+6-\left(9x^{2}+6x+1\right)=1$$

9x^{2}+6x+1 का विपरीत ढूँढने के लिए, प्रत्येक पद का विपरीत ढूँढें.

$$x+6-9x^{2}-6x-1=1$$

-5x प्राप्त करने के लिए x और -6x संयोजित करें.

$$-5x+6-9x^{2}-1=1$$

5 प्राप्त करने के लिए 1 में से 6 घटाएं.

$$-5x+5-9x^{2}=1$$

दोनों ओर से 5 घटाएँ.

$$-5x-9x^{2}=1-5$$

-4 प्राप्त करने के लिए 5 में से 1 घटाएं.

$$-5x-9x^{2}=-4$$

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$-9x^{2}-5x=-4$$

दोनों ओर -9 से विभाजन करें.

$$\frac{-9x^{2}-5x}{-9}=-\frac{4}{-9}$$

-9 से विभाजित करना -9 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-9}\right)x=-\frac{4}{-9}$$

-9 को -5 से विभाजित करें.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x=-\frac{4}{-9}$$

-9 को -4 से विभाजित करें.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x=\frac{4}{9}$$

\frac{5}{18} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक \frac{5}{9} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर \frac{5}{18} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{4}{9}+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके \frac{5}{18} का वर्ग करें.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{4}{9}+\frac{25}{324}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{4}{9} में \frac{25}{324} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{169}{324}$$

गुणक x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{169}{324}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{324}}$$

सरल बनाएं.

$$x+\frac{5}{18}=\frac{13}{18} x+\frac{5}{18}=-\frac{13}{18}$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{5}{18} घटाएं.

$$x=\frac{4}{9} x=-1$$