(x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6] का समाधान करें

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

x के लिए हल करें

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3.428571429$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

\left(x+3\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x-8\right)\left(3x+8\right) पर विचार करें. इस नियम का उपयोग करके गुणन को वर्गों के अंतर में रूपांतरित किया जा सकता है: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. वर्गमूल 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x\right)^{2} विस्तृत करें.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

2 की घात की 3 से गणना करें और 9 प्राप्त करें.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

10x^{2} प्राप्त करने के लिए x^{2} और 9x^{2} संयोजित करें.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-55 प्राप्त करने के लिए 64 में से 9 घटाएं.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-54 को प्राप्त करने के लिए -55 और 1 को जोड़ें.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

x+3 से x गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

x^{2}+3x+6 से 3 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

दोनों ओर से 3x^{2} घटाएँ.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

7x^{2} प्राप्त करने के लिए 10x^{2} और -3x^{2} संयोजित करें.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

दोनों ओर से 9x घटाएँ.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

-3x प्राप्त करने के लिए 6x और -9x संयोजित करें.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

दोनों ओर से 18 घटाएँ.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

-72 प्राप्त करने के लिए 18 में से -54 घटाएं.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 7x^{2}+ax+bx-72 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b ऋणात्मक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या में धनात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -504 देते हैं.

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

हल वह जोड़ी है जो -3 योग देती है.

$$a=-24 b=21$$

7x^{2}-3x-72 को \left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

पहले समूह में x के और दूसरे समूह में 3 को गुणनखंड बनाएँ.

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद 7x-24 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, 7x-24=0 और x+3=0 को हल करें.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

\left(x+3\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x-8\right)\left(3x+8\right) पर विचार करें. इस नियम का उपयोग करके गुणन को वर्गों के अंतर में रूपांतरित किया जा सकता है: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. वर्गमूल 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x\right)^{2} विस्तृत करें.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

2 की घात की 3 से गणना करें और 9 प्राप्त करें.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

10x^{2} प्राप्त करने के लिए x^{2} और 9x^{2} संयोजित करें.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-55 प्राप्त करने के लिए 64 में से 9 घटाएं.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-54 को प्राप्त करने के लिए -55 और 1 को जोड़ें.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

x+3 से x गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

x^{2}+3x+6 से 3 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

दोनों ओर से 3x^{2} घटाएँ.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

7x^{2} प्राप्त करने के लिए 10x^{2} और -3x^{2} संयोजित करें.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

दोनों ओर से 9x घटाएँ.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

-3x प्राप्त करने के लिए 6x और -9x संयोजित करें.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

दोनों ओर से 18 घटाएँ.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

-72 प्राप्त करने के लिए 18 में से -54 घटाएं.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 7, b के लिए -3 और द्विघात सूत्र में c के लिए -72, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

वर्गमूल -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

-4 को 7 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

-28 को -72 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

9 में 2016 को जोड़ें.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

2025 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

-3 का विपरीत 3 है.

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

2 को 7 बार गुणा करें.

$$x=\frac{3±45}{14}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{3±45}{14} को हल करें. 3 में 45 को जोड़ें.

$$x=\frac{48}{14}$$

2 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{48}{14} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=\frac{24}{7}$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{3±45}{14} को हल करें. 3 में से 45 को घटाएं.

$$x=-\frac{42}{14}$$

14 को -42 से विभाजित करें.

$$x=-3$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

\left(x+3\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x-8\right)\left(3x+8\right) पर विचार करें. इस नियम का उपयोग करके गुणन को वर्गों के अंतर में रूपांतरित किया जा सकता है: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. वर्गमूल 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x\right)^{2} विस्तृत करें.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

2 की घात की 3 से गणना करें और 9 प्राप्त करें.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

10x^{2} प्राप्त करने के लिए x^{2} और 9x^{2} संयोजित करें.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-55 प्राप्त करने के लिए 64 में से 9 घटाएं.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-54 को प्राप्त करने के लिए -55 और 1 को जोड़ें.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

x+3 से x गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

x^{2}+3x+6 से 3 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

दोनों ओर से 3x^{2} घटाएँ.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

7x^{2} प्राप्त करने के लिए 10x^{2} और -3x^{2} संयोजित करें.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

दोनों ओर से 9x घटाएँ.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

-3x प्राप्त करने के लिए 6x और -9x संयोजित करें.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

दोनों ओर 54 जोड़ें.

$$7x^{2}-3x=18+54$$

72 को प्राप्त करने के लिए 18 और 54 को जोड़ें.

$$7x^{2}-3x=72$$

दोनों ओर 7 से विभाजन करें.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

7 से विभाजित करना 7 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

-\frac{3}{14} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -\frac{3}{7} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{3}{14} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{3}{14} का वर्ग करें.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{72}{7} में \frac{9}{196} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

गुणक x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

सरल बनाएं.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{3}{14} जोड़ें.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$