(v+4)^2=2v^2+2v+9 का समाधान करें

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

v के लिए हल करें

$$v=-1$$

$$v=7$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

\left(v+4\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

दोनों ओर से 2v^{2} घटाएँ.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

-v^{2} प्राप्त करने के लिए v^{2} और -2v^{2} संयोजित करें.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

दोनों ओर से 2v घटाएँ.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

6v प्राप्त करने के लिए 8v और -2v संयोजित करें.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

दोनों ओर से 9 घटाएँ.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

7 प्राप्त करने के लिए 9 में से 16 घटाएं.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर -v^{2}+av+bv+7 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. केवल ऐसी जोड़ी सिस्टम समाधान है.

$$a=7 b=-1$$

-v^{2}+6v+7 को \left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

पहले समूह में -v के और दूसरे समूह में -1 को गुणनखंड बनाएँ.

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद v-7 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, v-7=0 और -v-1=0 को हल करें.

$$v=7 v=-1$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

\left(v+4\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

दोनों ओर से 2v^{2} घटाएँ.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

-v^{2} प्राप्त करने के लिए v^{2} और -2v^{2} संयोजित करें.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

दोनों ओर से 2v घटाएँ.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

6v प्राप्त करने के लिए 8v और -2v संयोजित करें.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

दोनों ओर से 9 घटाएँ.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

7 प्राप्त करने के लिए 9 में से 16 घटाएं.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न -1, b के लिए 6 और द्विघात सूत्र में c के लिए 7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

वर्गमूल 6.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

-4 को -1 बार गुणा करें.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

4 को 7 बार गुणा करें.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

36 में 28 को जोड़ें.

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

64 का वर्गमूल लें.

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

2 को -1 बार गुणा करें.

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण v=\frac{-6±8}{-2} को हल करें. -6 में 8 को जोड़ें.

$$v=\frac{2}{-2}$$

-2 को 2 से विभाजित करें.

$$v=-1$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण v=\frac{-6±8}{-2} को हल करें. -6 में से 8 को घटाएं.

$$v=-\frac{14}{-2}$$

-2 को -14 से विभाजित करें.

$$v=7$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$v=-1 v=7$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

\left(v+4\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

दोनों ओर से 2v^{2} घटाएँ.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

-v^{2} प्राप्त करने के लिए v^{2} और -2v^{2} संयोजित करें.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

दोनों ओर से 2v घटाएँ.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

6v प्राप्त करने के लिए 8v और -2v संयोजित करें.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

दोनों ओर से 16 घटाएँ.

$$-v^{2}+6v=9-16$$

-7 प्राप्त करने के लिए 16 में से 9 घटाएं.

$$-v^{2}+6v=-7$$

दोनों ओर -1 से विभाजन करें.

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

-1 से विभाजित करना -1 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

-1 को 6 से विभाजित करें.

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

-1 को -7 से विभाजित करें.

$$v^{2}-6v=7$$

-3 प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -6 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -3 का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

वर्गमूल -3.

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

7 में 9 को जोड़ें.

$$v^{2}-6v+9=16$$

गुणक v^{2}-6v+9. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

सरल बनाएं.

$$v-3=4 v-3=-4$$

समीकरण के दोनों ओर 3 जोड़ें.

$$v=7 v=-1$$