(5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x का समाधान करें

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

x के लिए हल करें

$$x=-1$$

$$x=2$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

\left(5x-2\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

\left(2x-1\right)\left(2x+1\right) पर विचार करें. इस नियम का उपयोग करके गुणन को वर्गों के अंतर में रूपांतरित किया जा सकता है: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. वर्गमूल 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

\left(2x\right)^{2} विस्तृत करें.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

2 की घात की 2 से गणना करें और 4 प्राप्त करें.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

4x^{2}-1 का विपरीत ढूँढने के लिए, प्रत्येक पद का विपरीत ढूँढें.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

21x^{2} प्राप्त करने के लिए 25x^{2} और -4x^{2} संयोजित करें.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

5 को प्राप्त करने के लिए 4 और 1 को जोड़ें.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

दोनों ओर से 47 घटाएँ.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

-42 प्राप्त करने के लिए 47 में से 5 घटाएं.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

दोनों ओर से x घटाएँ.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

-21x प्राप्त करने के लिए -20x और -x संयोजित करें.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

दोनों ओर 21 से विभाजन करें.

$$x^{2}-x-2=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर x^{2}+ax+bx-2 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b ऋणात्मक है, इसलिए ऋणात्मक संख्या में धनात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. केवल ऐसी जोड़ी सिस्टम समाधान है.

$$a=-2 b=1$$

x^{2}-x-2 को \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

x^{2}-2x में x को गुणनखंड बनाएँ.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद x-2 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, x-2=0 और x+1=0 को हल करें.

$$x=2 x=-1$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

\left(5x-2\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

\left(2x-1\right)\left(2x+1\right) पर विचार करें. इस नियम का उपयोग करके गुणन को वर्गों के अंतर में रूपांतरित किया जा सकता है: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. वर्गमूल 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

\left(2x\right)^{2} विस्तृत करें.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

2 की घात की 2 से गणना करें और 4 प्राप्त करें.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

4x^{2}-1 का विपरीत ढूँढने के लिए, प्रत्येक पद का विपरीत ढूँढें.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

21x^{2} प्राप्त करने के लिए 25x^{2} और -4x^{2} संयोजित करें.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

5 को प्राप्त करने के लिए 4 और 1 को जोड़ें.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

दोनों ओर से 47 घटाएँ.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

-42 प्राप्त करने के लिए 47 में से 5 घटाएं.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

दोनों ओर से x घटाएँ.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

-21x प्राप्त करने के लिए -20x और -x संयोजित करें.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 21, b के लिए -21 और द्विघात सूत्र में c के लिए -42, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

वर्गमूल -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

-4 को 21 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

-84 को -42 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

441 में 3528 को जोड़ें.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

3969 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

-21 का विपरीत 21 है.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

2 को 21 बार गुणा करें.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{21±63}{42} को हल करें. 21 में 63 को जोड़ें.

$$x=\frac{84}{42}$$

42 को 84 से विभाजित करें.

$$x=2$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{21±63}{42} को हल करें. 21 में से 63 को घटाएं.

$$x=-\frac{42}{42}$$

42 को -42 से विभाजित करें.

$$x=-1$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=2 x=-1$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

\left(5x-2\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

\left(2x-1\right)\left(2x+1\right) पर विचार करें. इस नियम का उपयोग करके गुणन को वर्गों के अंतर में रूपांतरित किया जा सकता है: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. वर्गमूल 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

\left(2x\right)^{2} विस्तृत करें.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

2 की घात की 2 से गणना करें और 4 प्राप्त करें.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

4x^{2}-1 का विपरीत ढूँढने के लिए, प्रत्येक पद का विपरीत ढूँढें.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

21x^{2} प्राप्त करने के लिए 25x^{2} और -4x^{2} संयोजित करें.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

5 को प्राप्त करने के लिए 4 और 1 को जोड़ें.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

दोनों ओर से x घटाएँ.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

-21x प्राप्त करने के लिए -20x और -x संयोजित करें.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

दोनों ओर से 5 घटाएँ.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

42 प्राप्त करने के लिए 5 में से 47 घटाएं.

$$21x^{2}-21x=42$$

दोनों ओर 21 से विभाजन करें.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

21 से विभाजित करना 21 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

21 को -21 से विभाजित करें.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

21 को 42 से विभाजित करें.

$$x^{2}-x=2$$

-\frac{1}{2} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -1 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{1}{2} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{1}{2} का वर्ग करें.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

2 में \frac{1}{4} को जोड़ें.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

गुणक x^{2}-x+\frac{1}{4}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

सरल बनाएं.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{2} जोड़ें.

$$x=2 x=-1$$