(4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156 का समाधान करें

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

x के लिए हल करें

$$x=-18$$

$$x=6$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

समीकरण के दोनों को 4 से गुणा करें.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\sqrt{3} का वर्ग 3 है.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

48 प्राप्त करने के लिए 16 और 3 का गुणा करें.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

8 और 2 में महत्तम समापवर्तक 2 को रद्द कर दें.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\frac{x\sqrt{3}}{2} को घात पर बढ़ाने के लिए, अंश और हर दोनों को घात पर बढ़ाएँ और फिर विभाजित करें.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

व्यंजकों को जोड़ने या घटाने के लिए, उन्हें उनके विभाजकों को समान करने के लिए विस्तृत करें. 48 को \frac{2^{2}}{2^{2}} बार गुणा करें.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

चूँकि \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} और \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} के पास समान भिन्न हैं, उनके अंशों को जोड़कर उन्हें जोड़ें.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3} से 4 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

2 की घात की 2 से गणना करें और 4 प्राप्त करें.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

192 प्राप्त करने के लिए 48 और 4 का गुणा करें.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\left(x\sqrt{3}\right)^{2} विस्तृत करें.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} का वर्ग 3 है.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

2 की घात की 2 से गणना करें और 4 प्राप्त करें.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} को एकल भिन्न के रूप में व्यक्त करें.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4 और 4 को विभाजित करें.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} का वर्ग 3 है.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

48 प्राप्त करने के लिए 16 और 3 का गुणा करें.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

4x^{2} प्राप्त करने के लिए x^{2}\times 3 और x^{2} संयोजित करें.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

दोनों ओर से 624 घटाएँ.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

-432 प्राप्त करने के लिए 624 में से 192 घटाएं.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

दोनों ओर 4 से विभाजन करें.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

बहुपद को मानक रूप में रखने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करें. टर्म को उच्चतम से निम्नतम घात के क्रम में रखें.

$$x^{2}+12x-108=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर x^{2}+ax+bx-108 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -108 देते हैं.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

हल वह जोड़ी है जो 12 योग देती है.

$$a=-6 b=18$$

x^{2}+12x-108 को \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

पहले समूह में x के और दूसरे समूह में 18 को गुणनखंड बनाएँ.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद x-6 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, x-6=0 और x+18=0 को हल करें.

$$x=6 x=-18$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

समीकरण के दोनों को 4 से गुणा करें.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\sqrt{3} का वर्ग 3 है.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

48 प्राप्त करने के लिए 16 और 3 का गुणा करें.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

8 और 2 में महत्तम समापवर्तक 2 को रद्द कर दें.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\frac{x\sqrt{3}}{2} को घात पर बढ़ाने के लिए, अंश और हर दोनों को घात पर बढ़ाएँ और फिर विभाजित करें.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

व्यंजकों को जोड़ने या घटाने के लिए, उन्हें उनके विभाजकों को समान करने के लिए विस्तृत करें. 48 को \frac{2^{2}}{2^{2}} बार गुणा करें.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

चूँकि \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} और \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} के पास समान भिन्न हैं, उनके अंशों को जोड़कर उन्हें जोड़ें.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3} से 4 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

2 की घात की 2 से गणना करें और 4 प्राप्त करें.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

192 प्राप्त करने के लिए 48 और 4 का गुणा करें.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\left(x\sqrt{3}\right)^{2} विस्तृत करें.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} का वर्ग 3 है.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

2 की घात की 2 से गणना करें और 4 प्राप्त करें.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} को एकल भिन्न के रूप में व्यक्त करें.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4 और 4 को विभाजित करें.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} का वर्ग 3 है.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

48 प्राप्त करने के लिए 16 और 3 का गुणा करें.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

4x^{2} प्राप्त करने के लिए x^{2}\times 3 और x^{2} संयोजित करें.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

दोनों ओर से 624 घटाएँ.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

-432 प्राप्त करने के लिए 624 में से 192 घटाएं.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 4, b के लिए 48 और द्विघात सूत्र में c के लिए -432, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

वर्गमूल 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

-4 को 4 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

-16 को -432 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

2304 में 6912 को जोड़ें.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

9216 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

2 को 4 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-48±96}{8} को हल करें. -48 में 96 को जोड़ें.

$$x=\frac{48}{8}$$

8 को 48 से विभाजित करें.

$$x=6$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-48±96}{8} को हल करें. -48 में से 96 को घटाएं.

$$x=-\frac{144}{8}$$

8 को -144 से विभाजित करें.

$$x=-18$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=6 x=-18$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

समीकरण के दोनों को 4 से गुणा करें.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\sqrt{3} का वर्ग 3 है.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

48 प्राप्त करने के लिए 16 और 3 का गुणा करें.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

8 और 2 में महत्तम समापवर्तक 2 को रद्द कर दें.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\frac{x\sqrt{3}}{2} को घात पर बढ़ाने के लिए, अंश और हर दोनों को घात पर बढ़ाएँ और फिर विभाजित करें.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

व्यंजकों को जोड़ने या घटाने के लिए, उन्हें उनके विभाजकों को समान करने के लिए विस्तृत करें. 48 को \frac{2^{2}}{2^{2}} बार गुणा करें.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

चूँकि \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} और \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} के पास समान भिन्न हैं, उनके अंशों को जोड़कर उन्हें जोड़ें.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3} से 4 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

2 की घात की 2 से गणना करें और 4 प्राप्त करें.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

192 प्राप्त करने के लिए 48 और 4 का गुणा करें.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\left(x\sqrt{3}\right)^{2} विस्तृत करें.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} का वर्ग 3 है.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

2 की घात की 2 से गणना करें और 4 प्राप्त करें.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} को एकल भिन्न के रूप में व्यक्त करें.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4 और 4 को विभाजित करें.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} का वर्ग 3 है.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

48 प्राप्त करने के लिए 16 और 3 का गुणा करें.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

4x^{2} प्राप्त करने के लिए x^{2}\times 3 और x^{2} संयोजित करें.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

दोनों ओर से 192 घटाएँ.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

432 प्राप्त करने के लिए 192 में से 624 घटाएं.

$$4x^{2}+48x=432$$

दोनों ओर 4 से विभाजन करें.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

4 से विभाजित करना 4 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

4 को 48 से विभाजित करें.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

4 को 432 से विभाजित करें.

$$x^{2}+12x=108$$

6 प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक 12 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर 6 का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

वर्गमूल 6.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

108 में 36 को जोड़ें.

$$x^{2}+12x+36=144$$

गुणक x^{2}+12x+36. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

सरल बनाएं.

$$x+6=12 x+6=-12$$

समीकरण के दोनों ओर से 6 घटाएं.

$$x=6 x=-18$$