(3x+1)^2=9 का समाधान करें

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } = 9$$

x के लिए हल करें

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

\left(3x+1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

दोनों ओर से 9 घटाएँ.

$$9x^{2}+6x+1-9=0$$

-8 प्राप्त करने के लिए 9 में से 1 घटाएं.

$$9x^{2}+6x-8=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 9x^{2}+ax+bx-8 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=6 ab=9\left(-8\right)=-72$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -72 देते हैं.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

हल वह जोड़ी है जो 6 योग देती है.

$$a=-6 b=12$$

9x^{2}+6x-8 को \left(9x^{2}-6x\right)+\left(12x-8\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(12x-8\right)$$

पहले समूह में 3x के और दूसरे समूह में 4 को गुणनखंड बनाएँ.

$$3x\left(3x-2\right)+4\left(3x-2\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद 3x-2 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(3x-2\right)\left(3x+4\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, 3x-2=0 और 3x+4=0 को हल करें.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

\left(3x+1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

दोनों ओर से 9 घटाएँ.

$$9x^{2}+6x+1-9=0$$

-8 प्राप्त करने के लिए 9 में से 1 घटाएं.

$$9x^{2}+6x-8=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 9, b के लिए 6 और द्विघात सूत्र में c के लिए -8, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

वर्गमूल 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

-4 को 9 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

-36 को -8 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 9}$$

36 में 288 को जोड़ें.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 9}$$

324 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 9}$$

2 को 9 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-6±18}{18}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-6±18}{18} को हल करें. -6 में 18 को जोड़ें.

$$x=\frac{12}{18}$$

6 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{12}{18} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=\frac{2}{3}$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-6±18}{18} को हल करें. -6 में से 18 को घटाएं.

$$x=-\frac{24}{18}$$

6 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-24}{18} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=-\frac{4}{3}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

\left(3x+1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

दोनों ओर से 1 घटाएँ.

$$9x^{2}+6x=9-1$$

8 प्राप्त करने के लिए 1 में से 9 घटाएं.

$$9x^{2}+6x=8$$

दोनों ओर 9 से विभाजन करें.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=\frac{8}{9}$$

9 से विभाजित करना 9 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=\frac{8}{9}$$

3 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{6}{9} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{8}{9}$$

\frac{1}{3} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक \frac{2}{3} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{3} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके \frac{1}{3} का वर्ग करें.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{8+1}{9}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{8}{9} में \frac{1}{9} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1$$

गुणक x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=1$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

सरल बनाएं.

$$x+\frac{1}{3}=1 x+\frac{1}{3}=-1$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{1}{3} घटाएं.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$