(2x)^2-12(x+1)geq0 का समाधान करें

$$( 2 x ) ^ { 2 } - 12 ( x + 1 ) \geq 0$$

x के लिए हल करें

$$x\in (-\infty,\frac{3-\sqrt{21}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{21}+3}{2},\infty)$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

\left(2x\right)^{2} विस्तृत करें.

$$2^{2}x^{2}-12\left(x+1\right)\geq 0$$

2 की घात की 2 से गणना करें और 4 प्राप्त करें.

$$4x^{2}-12\left(x+1\right)\geq 0$$

x+1 से -12 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$4x^{2}-12x-12\geq 0$$

असमानता हल करने के लिए, बाएँ हाथ तरफ फ़ैक्टर करें. ट्रांसफॉर्मेशन ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) का उपयोग करके द्विघात बहुपद को भाजित किया जा सकता है, जहाँ x_{1} और x_{2} द्विघात समीकरण ax^{2}+bx+c=0 का हल है.

$$4x^{2}-12x-12=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 4, b के लिए -12, और c के लिए -12 प्रतिस्थापित करें.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-12\right)}}{2\times 4}$$

परिकलन करें.

$$x=\frac{12±4\sqrt{21}}{8}$$

समीकरण x=\frac{12±4\sqrt{21}}{8} को हल करें जब ± धन है और जब ± ऋण है.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

प्राप्त हल का उपयोग करके असमानता को फिर से लिखें.

$$4\left(x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\right)\geq 0$$

गुणनफल को ≥0 होने के लिए, x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} और x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} दोनों को ≤0 या दोनों ≥0 होना चाहिए. x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} और x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} दोनों ≤0 हो तब केस पर विचार करें.

$$x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\leq 0 x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\leq 0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2} है.

$$x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

जब x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} और x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} दोनों ≥0 हो, तो केस पर विचार करें.

$$x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\geq 0 x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\geq 0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2} है.

$$x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}$$

प्राप्त किए गए समाधानों का अंतिम हल संघ है.

$$x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}$$