(2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16) का समाधान करें

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

x के लिए हल करें

$$x=-7$$

$$x=4$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

x^{2}-16 से 2x+3 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

x+40 को x-4 से गुणा करें और संयोजित करें जैसे पदों के लिए बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

4x^{2} प्राप्त करने के लिए 3x^{2} और x^{2} संयोजित करें.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

4x प्राप्त करने के लिए -32x और 36x संयोजित करें.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

-208 प्राप्त करने के लिए 160 में से -48 घटाएं.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

x-4 से 2 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

x^{2}-16 से 2x-8 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

दोनों ओर से 2x^{3} घटाएँ.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

0 प्राप्त करने के लिए 2x^{3} और -2x^{3} संयोजित करें.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

दोनों ओर 32x जोड़ें.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

36x प्राप्त करने के लिए 4x और 32x संयोजित करें.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

दोनों ओर 8x^{2} जोड़ें.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

12x^{2} प्राप्त करने के लिए 4x^{2} और 8x^{2} संयोजित करें.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

दोनों ओर से 128 घटाएँ.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

-336 प्राप्त करने के लिए 128 में से -208 घटाएं.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

दोनों ओर 12 से विभाजन करें.

$$3x+x^{2}-28=0$$

बहुपद को मानक रूप में रखने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करें. टर्म को उच्चतम से निम्नतम घात के क्रम में रखें.

$$x^{2}+3x-28=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर x^{2}+ax+bx-28 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -28 देते हैं.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

हल वह जोड़ी है जो 3 योग देती है.

$$a=-4 b=7$$

x^{2}+3x-28 को \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

पहले समूह में x के और दूसरे समूह में 7 को गुणनखंड बनाएँ.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद x-4 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, x-4=0 और x+7=0 को हल करें.

$$x=4 x=-7$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

x^{2}-16 से 2x+3 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

x+40 को x-4 से गुणा करें और संयोजित करें जैसे पदों के लिए बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

4x^{2} प्राप्त करने के लिए 3x^{2} और x^{2} संयोजित करें.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

4x प्राप्त करने के लिए -32x और 36x संयोजित करें.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

-208 प्राप्त करने के लिए 160 में से -48 घटाएं.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

x-4 से 2 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

x^{2}-16 से 2x-8 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

दोनों ओर से 2x^{3} घटाएँ.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

0 प्राप्त करने के लिए 2x^{3} और -2x^{3} संयोजित करें.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

दोनों ओर 32x जोड़ें.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

36x प्राप्त करने के लिए 4x और 32x संयोजित करें.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

दोनों ओर 8x^{2} जोड़ें.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

12x^{2} प्राप्त करने के लिए 4x^{2} और 8x^{2} संयोजित करें.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

दोनों ओर से 128 घटाएँ.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

-336 प्राप्त करने के लिए 128 में से -208 घटाएं.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 12, b के लिए 36 और द्विघात सूत्र में c के लिए -336, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

वर्गमूल 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

-4 को 12 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

-48 को -336 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

1296 में 16128 को जोड़ें.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

17424 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

2 को 12 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-36±132}{24} को हल करें. -36 में 132 को जोड़ें.

$$x=\frac{96}{24}$$

24 को 96 से विभाजित करें.

$$x=4$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-36±132}{24} को हल करें. -36 में से 132 को घटाएं.

$$x=-\frac{168}{24}$$

24 को -168 से विभाजित करें.

$$x=-7$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=4 x=-7$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

x^{2}-16 से 2x+3 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

x+40 को x-4 से गुणा करें और संयोजित करें जैसे पदों के लिए बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

4x^{2} प्राप्त करने के लिए 3x^{2} और x^{2} संयोजित करें.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

4x प्राप्त करने के लिए -32x और 36x संयोजित करें.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

-208 प्राप्त करने के लिए 160 में से -48 घटाएं.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

x-4 से 2 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

x^{2}-16 से 2x-8 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

दोनों ओर से 2x^{3} घटाएँ.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

0 प्राप्त करने के लिए 2x^{3} और -2x^{3} संयोजित करें.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

दोनों ओर 32x जोड़ें.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

36x प्राप्त करने के लिए 4x और 32x संयोजित करें.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

दोनों ओर 8x^{2} जोड़ें.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

12x^{2} प्राप्त करने के लिए 4x^{2} और 8x^{2} संयोजित करें.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

दोनों ओर 208 जोड़ें.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

336 को प्राप्त करने के लिए 128 और 208 को जोड़ें.

$$36x+12x^{2}=336$$

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$12x^{2}+36x=336$$

दोनों ओर 12 से विभाजन करें.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

12 से विभाजित करना 12 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

12 को 36 से विभाजित करें.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

12 को 336 से विभाजित करें.

$$x^{2}+3x=28$$

\frac{3}{2} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक 3 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर \frac{3}{2} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके \frac{3}{2} का वर्ग करें.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

28 में \frac{9}{4} को जोड़ें.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

गुणक x^{2}+3x+\frac{9}{4}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

सरल बनाएं.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{3}{2} घटाएं.

$$x=4 x=-7$$