(2x+1)^2=1+(x-1)(x+1) का समाधान करें

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 1 + ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

x के लिए हल करें

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=-1$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

\left(2x+1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

\left(x-1\right)\left(x+1\right) पर विचार करें. इस नियम का उपयोग करके गुणन को वर्गों के अंतर में रूपांतरित किया जा सकता है: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. वर्गमूल 1.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

0 प्राप्त करने के लिए 1 में से 1 घटाएं.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

दोनों ओर से x^{2} घटाएँ.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

3x^{2} प्राप्त करने के लिए 4x^{2} और -x^{2} संयोजित करें.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 3x^{2}+ax+bx+1 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=4 ab=3\times 1=3$$

चूँकि ab सकारात्मक है, a और b के पास एक ही चिह्न है. चूंकि a+b सकारात्मक है, a और b दोनों सकारात्मक हैं. केवल ऐसी जोड़ी सिस्टम समाधान है.

$$a=1 b=3$$

3x^{2}+4x+1 को \left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right)$$

3x^{2}+x में x को गुणनखंड बनाएँ.

$$x\left(3x+1\right)+3x+1$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद 3x+1 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(3x+1\right)\left(x+1\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, 3x+1=0 और x+1=0 को हल करें.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

\left(2x+1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

\left(x-1\right)\left(x+1\right) पर विचार करें. इस नियम का उपयोग करके गुणन को वर्गों के अंतर में रूपांतरित किया जा सकता है: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. वर्गमूल 1.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

0 प्राप्त करने के लिए 1 में से 1 घटाएं.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

दोनों ओर से x^{2} घटाएँ.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

3x^{2} प्राप्त करने के लिए 4x^{2} और -x^{2} संयोजित करें.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 3, b के लिए 4 और द्विघात सूत्र में c के लिए 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

वर्गमूल 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

-4 को 3 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

16 में -12 को जोड़ें.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

4 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-4±2}{2\times 3}$$

2 को 3 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-4±2}{6}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-4±2}{6} को हल करें. -4 में 2 को जोड़ें.

$$x=-\frac{2}{6}$$

2 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{-2}{6} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=-\frac{1}{3}$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-4±2}{6} को हल करें. -4 में से 2 को घटाएं.

$$x=-\frac{6}{6}$$

6 को -6 से विभाजित करें.

$$x=-1$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

\left(2x+1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

\left(x-1\right)\left(x+1\right) पर विचार करें. इस नियम का उपयोग करके गुणन को वर्गों के अंतर में रूपांतरित किया जा सकता है: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. वर्गमूल 1.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

0 प्राप्त करने के लिए 1 में से 1 घटाएं.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

दोनों ओर से x^{2} घटाएँ.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

3x^{2} प्राप्त करने के लिए 4x^{2} और -x^{2} संयोजित करें.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

दोनों ओर से 1 घटाएँ. शून्य में से कुछ भी घटाने पर इसका ऋणात्मक मान प्राप्त होता है.

$$3x^{2}+4x=-1$$

दोनों ओर 3 से विभाजन करें.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

3 से विभाजित करना 3 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

\frac{2}{3} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक \frac{4}{3} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर \frac{2}{3} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके \frac{2}{3} का वर्ग करें.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर -\frac{1}{3} में \frac{4}{9} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

गुणक x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

सरल बनाएं.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{2}{3} घटाएं.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$