(2x+1)^2=(x-5)^2 का समाधान करें

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 5 ) ^ { 2 }$$

x के लिए हल करें

$$x=-6$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

\left(2x+1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

\left(x-5\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

दोनों ओर से x^{2} घटाएँ.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

3x^{2} प्राप्त करने के लिए 4x^{2} और -x^{2} संयोजित करें.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

दोनों ओर 10x जोड़ें.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

14x प्राप्त करने के लिए 4x और 10x संयोजित करें.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

दोनों ओर से 25 घटाएँ.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

-24 प्राप्त करने के लिए 25 में से 1 घटाएं.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर 3x^{2}+ax+bx-24 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=14 ab=3\left(-24\right)=-72$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -72 देते हैं.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

हल वह जोड़ी है जो 14 योग देती है.

$$a=-4 b=18$$

3x^{2}+14x-24 को \left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)$$

पहले समूह में x के और दूसरे समूह में 6 को गुणनखंड बनाएँ.

$$x\left(3x-4\right)+6\left(3x-4\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद 3x-4 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(3x-4\right)\left(x+6\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, 3x-4=0 और x+6=0 को हल करें.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

\left(2x+1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

\left(x-5\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

दोनों ओर से x^{2} घटाएँ.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

3x^{2} प्राप्त करने के लिए 4x^{2} और -x^{2} संयोजित करें.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

दोनों ओर 10x जोड़ें.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

14x प्राप्त करने के लिए 4x और 10x संयोजित करें.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

दोनों ओर से 25 घटाएँ.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

-24 प्राप्त करने के लिए 25 में से 1 घटाएं.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 3, b के लिए 14 और द्विघात सूत्र में c के लिए -24, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

वर्गमूल 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

-4 को 3 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

-12 को -24 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 3}$$

196 में 288 को जोड़ें.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

484 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 3}$$

2 को 3 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-14±22}{6}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-14±22}{6} को हल करें. -14 में 22 को जोड़ें.

$$x=\frac{8}{6}$$

2 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{8}{6} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=\frac{4}{3}$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-14±22}{6} को हल करें. -14 में से 22 को घटाएं.

$$x=-\frac{36}{6}$$

6 को -36 से विभाजित करें.

$$x=-6$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

\left(2x+1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

\left(x-5\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

दोनों ओर से x^{2} घटाएँ.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

3x^{2} प्राप्त करने के लिए 4x^{2} और -x^{2} संयोजित करें.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

दोनों ओर 10x जोड़ें.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

14x प्राप्त करने के लिए 4x और 10x संयोजित करें.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

दोनों ओर से 1 घटाएँ.

$$3x^{2}+14x=25-1$$

24 प्राप्त करने के लिए 1 में से 25 घटाएं.

$$3x^{2}+14x=24$$

दोनों ओर 3 से विभाजन करें.

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=\frac{24}{3}$$

3 से विभाजित करना 3 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{24}{3}$$

3 को 24 से विभाजित करें.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=8$$

\frac{7}{3} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक \frac{14}{3} को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर \frac{7}{3} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=8+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके \frac{7}{3} का वर्ग करें.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=8+\frac{49}{9}$$

8 में \frac{49}{9} को जोड़ें.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{121}{9}$$

गुणक x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

सरल बनाएं.

$$x+\frac{7}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{11}{3}$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{7}{3} घटाएं.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$