(2k-3)^2-4(3-2k)<0 का समाधान करें

$$( 2 k - 3 ) ^ { 2 } - 4 ( 3 - 2 k ) < 0$$

k के लिए हल करें

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

\left(2k-3\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$4k^{2}-12k+9-4\left(3-2k\right)<0$$

3-2k से -4 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$4k^{2}-12k+9-12+8k<0$$

-3 प्राप्त करने के लिए 12 में से 9 घटाएं.

$$4k^{2}-12k-3+8k<0$$

-4k प्राप्त करने के लिए -12k और 8k संयोजित करें.

$$4k^{2}-4k-3<0$$

असमानता हल करने के लिए, बाएँ हाथ तरफ फ़ैक्टर करें. ट्रांसफॉर्मेशन ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) का उपयोग करके द्विघात बहुपद को भाजित किया जा सकता है, जहाँ x_{1} और x_{2} द्विघात समीकरण ax^{2}+bx+c=0 का हल है.

$$4k^{2}-4k-3=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 4, b के लिए -4, और c के लिए -3 प्रतिस्थापित करें.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

परिकलन करें.

$$k=\frac{4±8}{8}$$

समीकरण k=\frac{4±8}{8} को हल करें जब ± धन है और जब ± ऋण है.

$$k=\frac{3}{2} k=-\frac{1}{2}$$

प्राप्त हल का उपयोग करके असमानता को फिर से लिखें.

$$4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)<0$$

गुणनफल को ऋणात्मक होने के लिए, k-\frac{3}{2} और k+\frac{1}{2} को विपरीत चिह्न होना चाहिए. जब k-\frac{3}{2} धनात्मक हो और k+\frac{1}{2} ऋणात्मक हो, तो केस पर विचार करे.

$$k-\frac{3}{2}>0 k+\frac{1}{2}<0$$

किसी भी k के लिए यह असत्य है.

$$k\in \emptyset$$

जब k+\frac{1}{2} धनात्मक हो और k-\frac{3}{2} ऋणात्मक हो, तो केस पर विचार करे.

$$k+\frac{1}{2}>0 k-\frac{3}{2}<0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) है.

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

प्राप्त किए गए समाधानों का अंतिम हल संघ है.

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$