x^6=((6x^3)-5^3) का समाधान करें

$${ x }^{ 6 } =((6 { x }^{ 3 } )- { 5 }^{ 3 } )$$

x के लिए हल करें (जटिल समाधान)

$$x\in \sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}},\sqrt{5}e^{-\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

3 की घात की 5 से गणना करें और 125 प्राप्त करें.

$$x^{6}=6x^{3}-125$$

दोनों ओर से 6x^{3} घटाएँ.

$$x^{6}-6x^{3}=-125$$

दोनों ओर 125 जोड़ें.

$$x^{6}-6x^{3}+125=0$$

x^{3} के लिए t प्रतिस्थापित करें.

$$t^{2}-6t+125=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 1, b के लिए -6, और c के लिए 125 प्रतिस्थापित करें.

$$t=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 125}}{2}$$

परिकलन करें.

$$t=\frac{6±\sqrt{-464}}{2}$$

समीकरण t=\frac{6±\sqrt{-464}}{2} को हल करें जब ± धन है और जब ± ऋण है.

$$t=3+2\sqrt{29}i t=-2\sqrt{29}i+3$$

चूँकिx=t^{3} है, इसलिए प्रत्येक t के लिए हल, समीकरण को हल करके प्राप्त किए जाते हैं.

$$x=\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}} x=\sqrt{5}e^{-\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}}$$