x^3+1/x^3=3 का समाधान करें

$${ x }^{ 3 } + \frac{ 1 }{ { x }^{ 3 } } =3$$

x के लिए हल करें (जटिल समाधान)

$$x\in \frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{5}+3}e^{\frac{2\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{5}+3}e^{\frac{4\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{5}+3}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}e^{\frac{4\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}e^{\frac{2\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}}{2}$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

चर x, 0 के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि शून्य से विभाजन निर्धारित नहीं है. समीकरण के दोनों को x^{3} से गुणा करें.

$$x^{3}x^{3}+1=3x^{3}$$

समान आधार की घातों को गुणा करने के लिए उनके घातांकों को जोड़ें. 6 प्राप्त करने के लिए 3 और 3 को जोड़ें.

$$x^{6}+1=3x^{3}$$

दोनों ओर से 3x^{3} घटाएँ.

$$x^{6}+1-3x^{3}=0$$

x^{3} के लिए t प्रतिस्थापित करें.

$$t^{2}-3t+1=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 1, b के लिए -3, और c के लिए 1 प्रतिस्थापित करें.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

परिकलन करें.

$$t=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

समीकरण t=\frac{3±\sqrt{5}}{2} को हल करें जब ± धन है और जब ± ऋण है.

$$t=\frac{\sqrt{5}+3}{2} t=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

चूँकिx=t^{3} है, इसलिए प्रत्येक t के लिए हल, समीकरण को हल करके प्राप्त किए जाते हैं.

$$x=-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}} x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}} x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}} x=-\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$$

चर x, 0 के बराबर नहीं हो सकता.

$$x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}}\text{, }x\neq 0 x=-\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}}\text{, }x\neq 0 x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}} x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}}\text{, }x\neq 0 x=-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}}\text{, }x\neq 0$$

x के लिए हल करें

$$x=\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}}{2}\approx 0.72556263$$

$$x = \frac{2 ^ {\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\sqrt{5} + 3}}{2} \approx 1.378240772$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

चर x, 0 के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि शून्य से विभाजन निर्धारित नहीं है. समीकरण के दोनों को x^{3} से गुणा करें.

$$x^{3}x^{3}+1=3x^{3}$$

समान आधार की घातों को गुणा करने के लिए उनके घातांकों को जोड़ें. 6 प्राप्त करने के लिए 3 और 3 को जोड़ें.

$$x^{6}+1=3x^{3}$$

दोनों ओर से 3x^{3} घटाएँ.

$$x^{6}+1-3x^{3}=0$$

x^{3} के लिए t प्रतिस्थापित करें.

$$t^{2}-3t+1=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 1, b के लिए -3, और c के लिए 1 प्रतिस्थापित करें.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

परिकलन करें.

$$t=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

समीकरण t=\frac{3±\sqrt{5}}{2} को हल करें जब ± धन है और जब ± ऋण है.

$$t=\frac{\sqrt{5}+3}{2} t=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

x=t^{3} के बाद से, प्रत्येक t के लिए x=\sqrt[3]{t} का मूल्यांकन करके हल प्राप्त किए जाते हैं.

$$x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$$