x^2-x-1=0 का समाधान करें

$${ x }^{ 2 } -x-1=0$$

x के लिए हल करें

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$x^{2}-x-1=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 1, b के लिए -1 और द्विघात सूत्र में c के लिए -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

-4 को -1 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2}$$

1 में 4 को जोड़ें.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2}$$

-1 का विपरीत 1 है.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} को हल करें. 1 में \sqrt{5} को जोड़ें.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} को हल करें. 1 में से \sqrt{5} को घटाएं.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$x^{2}-x-1=0$$

समीकरण के दोनों ओर 1 जोड़ें.

$$x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 को इसी से घटाने से 0 मिलता है.

$$x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

0 में से -1 को घटाएं.

$$x^{2}-x=1$$

-\frac{1}{2} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -1 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{1}{2} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{1}{2} का वर्ग करें.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

1 में \frac{1}{4} को जोड़ें.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

फ़ैक्‍टर x^{2}-x+\frac{1}{4}. सामान्यतः जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसे हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में फ़ैक्‍टर किया जा सकता है.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

सरल बनाएं.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{2} जोड़ें.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$