x^2-x-1>0 का समाधान करें

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

x के लिए हल करें

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

असमानता हल करने के लिए, बाएँ हाथ तरफ फ़ैक्टर करें. ट्रांसफॉर्मेशन ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) का उपयोग करके द्विघात बहुपद को भाजित किया जा सकता है, जहाँ x_{1} और x_{2} द्विघात समीकरण ax^{2}+bx+c=0 का हल है.

$$x^{2}-x-1=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 1, b के लिए -1, और c के लिए -1 प्रतिस्थापित करें.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

परिकलन करें.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

समीकरण x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} को हल करें जब ± धन है और जब ± ऋण है.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

प्राप्त हल का उपयोग करके असमानता को फिर से लिखें.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

गुणनफल को धनात्मक होने के लिए, x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} और x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} दोनों को ऋणात्मक या दोनों को धनात्मक होना चाहिए. x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} और x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} दोनों ऋणात्मक हो तब केस पर विचार करें.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल x<\frac{1-\sqrt{5}}{2} है.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

जब x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} और x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} दोनों धनात्मक हो, तो केस पर विचार करें.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल x>\frac{\sqrt{5}+1}{2} है.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

प्राप्त किए गए समाधानों का अंतिम हल संघ है.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$