x^2-3x+1<0 का समाधान करें

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

x के लिए हल करें

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

असमानता हल करने के लिए, बाएँ हाथ तरफ फ़ैक्टर करें. ट्रांसफॉर्मेशन ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) का उपयोग करके द्विघात बहुपद को भाजित किया जा सकता है, जहाँ x_{1} और x_{2} द्विघात समीकरण ax^{2}+bx+c=0 का हल है.

$$x^{2}-3x+1=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 1, b के लिए -3, और c के लिए 1 प्रतिस्थापित करें.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

परिकलन करें.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

समीकरण x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} को हल करें जब ± धन है और जब ± ऋण है.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

प्राप्त हल का उपयोग करके असमानता को फिर से लिखें.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

गुणनफल को ऋणात्मक होने के लिए, x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} और x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} को विपरीत चिह्न होना चाहिए. जब x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} धनात्मक हो और x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} ऋणात्मक हो, तो केस पर विचार करे.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

किसी भी x के लिए यह असत्य है.

$$x\in \emptyset$$

जब x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} धनात्मक हो और x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} ऋणात्मक हो, तो केस पर विचार करे.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right) है.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

प्राप्त किए गए समाधानों का अंतिम हल संघ है.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$