x^2+left(x+1right)^2=25 का समाधान करें

$${ x }^{ 2 } + { \left(x+1 \right) }^{ 2 } =25$$

x के लिए हल करें

$$x=-4$$

$$x=3$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

\left(x+1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$x^{2}+x^{2}+2x+1=25$$

2x^{2} प्राप्त करने के लिए x^{2} और x^{2} संयोजित करें.

$$2x^{2}+2x+1=25$$

दोनों ओर से 25 घटाएँ.

$$2x^{2}+2x+1-25=0$$

-24 प्राप्त करने के लिए 25 में से 1 घटाएं.

$$2x^{2}+2x-24=0$$

दोनों ओर 2 से विभाजन करें.

$$x^{2}+x-12=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर x^{2}+ax+bx-12 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=1 ab=1\left(-12\right)=-12$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -12 देते हैं.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

हल वह जोड़ी है जो 1 योग देती है.

$$a=-3 b=4$$

x^{2}+x-12 को \left(x^{2}-3x\right)+\left(4x-12\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(4x-12\right)$$

पहले समूह में x के और दूसरे समूह में 4 को गुणनखंड बनाएँ.

$$x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद x-3 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(x-3\right)\left(x+4\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, x-3=0 और x+4=0 को हल करें.

$$x=3 x=-4$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

\left(x+1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$x^{2}+x^{2}+2x+1=25$$

2x^{2} प्राप्त करने के लिए x^{2} और x^{2} संयोजित करें.

$$2x^{2}+2x+1=25$$

दोनों ओर से 25 घटाएँ.

$$2x^{2}+2x+1-25=0$$

-24 प्राप्त करने के लिए 25 में से 1 घटाएं.

$$2x^{2}+2x-24=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 2, b के लिए 2 और द्विघात सूत्र में c के लिए -24, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

वर्गमूल 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

-4 को 2 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

-8 को -24 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+192}}{2\times 2}$$

4 में 192 को जोड़ें.

$$x=\frac{-2±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

196 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-2±14}{2\times 2}$$

2 को 2 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-2±14}{4}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-2±14}{4} को हल करें. -2 में 14 को जोड़ें.

$$x=\frac{12}{4}$$

4 को 12 से विभाजित करें.

$$x=3$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-2±14}{4} को हल करें. -2 में से 14 को घटाएं.

$$x=-\frac{16}{4}$$

4 को -16 से विभाजित करें.

$$x=-4$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=3 x=-4$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

\left(x+1\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$x^{2}+x^{2}+2x+1=25$$

2x^{2} प्राप्त करने के लिए x^{2} और x^{2} संयोजित करें.

$$2x^{2}+2x+1=25$$

दोनों ओर से 1 घटाएँ.

$$2x^{2}+2x=25-1$$

24 प्राप्त करने के लिए 1 में से 25 घटाएं.

$$2x^{2}+2x=24$$

दोनों ओर 2 से विभाजन करें.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=\frac{24}{2}$$

2 से विभाजित करना 2 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=\frac{24}{2}$$

2 को 2 से विभाजित करें.

$$x^{2}+x=\frac{24}{2}$$

2 को 24 से विभाजित करें.

$$x^{2}+x=12$$

\frac{1}{2} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक 1 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{2} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=12+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके \frac{1}{2} का वर्ग करें.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=12+\frac{1}{4}$$

12 में \frac{1}{4} को जोड़ें.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{49}{4}$$

गुणक x^{2}+x+\frac{1}{4}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

सरल बनाएं.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{1}{2} घटाएं.

$$x=3 x=-4$$