left(x+3right)^3-x^3=279 का समाधान करें

$${ \left(x+3 \right) }^{ 3 } - { x }^{ 3 } =279$$

x के लिए हल करें

$$x=-7$$

$$x=4$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

\left(x+3\right)^{3} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} का उपयोग करें.

$$x^{3}+9x^{2}+27x+27-x^{3}=279$$

0 प्राप्त करने के लिए x^{3} और -x^{3} संयोजित करें.

$$9x^{2}+27x+27=279$$

दोनों ओर से 279 घटाएँ.

$$9x^{2}+27x+27-279=0$$

-252 प्राप्त करने के लिए 279 में से 27 घटाएं.

$$9x^{2}+27x-252=0$$

दोनों ओर 9 से विभाजन करें.

$$x^{2}+3x-28=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर x^{2}+ax+bx-28 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -28 देते हैं.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

हल वह जोड़ी है जो 3 योग देती है.

$$a=-4 b=7$$

x^{2}+3x-28 को \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

पहले समूह में x के और दूसरे समूह में 7 को गुणनखंड बनाएँ.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद x-4 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, x-4=0 और x+7=0 को हल करें.

$$x=4 x=-7$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

\left(x+3\right)^{3} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} का उपयोग करें.

$$x^{3}+9x^{2}+27x+27-x^{3}=279$$

0 प्राप्त करने के लिए x^{3} और -x^{3} संयोजित करें.

$$9x^{2}+27x+27=279$$

दोनों ओर से 279 घटाएँ.

$$9x^{2}+27x+27-279=0$$

-252 प्राप्त करने के लिए 279 में से 27 घटाएं.

$$9x^{2}+27x-252=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 9, b के लिए 27 और द्विघात सूत्र में c के लिए -252, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-27±\sqrt{27^{2}-4\times 9\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

वर्गमूल 27.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-4\times 9\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

-4 को 9 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-36\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

-36 को -252 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729+9072}}{2\times 9}$$

729 में 9072 को जोड़ें.

$$x=\frac{-27±\sqrt{9801}}{2\times 9}$$

9801 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-27±99}{2\times 9}$$

2 को 9 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-27±99}{18}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-27±99}{18} को हल करें. -27 में 99 को जोड़ें.

$$x=\frac{72}{18}$$

18 को 72 से विभाजित करें.

$$x=4$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-27±99}{18} को हल करें. -27 में से 99 को घटाएं.

$$x=-\frac{126}{18}$$

18 को -126 से विभाजित करें.

$$x=-7$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=4 x=-7$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

\left(x+3\right)^{3} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} का उपयोग करें.

$$x^{3}+9x^{2}+27x+27-x^{3}=279$$

0 प्राप्त करने के लिए x^{3} और -x^{3} संयोजित करें.

$$9x^{2}+27x+27=279$$

दोनों ओर से 27 घटाएँ.

$$9x^{2}+27x=279-27$$

252 प्राप्त करने के लिए 27 में से 279 घटाएं.

$$9x^{2}+27x=252$$

दोनों ओर 9 से विभाजन करें.

$$\frac{9x^{2}+27x}{9}=\frac{252}{9}$$

9 से विभाजित करना 9 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\frac{27}{9}x=\frac{252}{9}$$

9 को 27 से विभाजित करें.

$$x^{2}+3x=\frac{252}{9}$$

9 को 252 से विभाजित करें.

$$x^{2}+3x=28$$

\frac{3}{2} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक 3 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर \frac{3}{2} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके \frac{3}{2} का वर्ग करें.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

28 में \frac{9}{4} को जोड़ें.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

गुणक x^{2}+3x+\frac{9}{4}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

सरल बनाएं.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{3}{2} घटाएं.

$$x=4 x=-7$$