{l}{60x+60y=1170-300}{70x+140y=2035} का समाधान करें

$$\left. \begin{array}{l}{ 60 x + 60 y = 1170 - 300 }\\{ 70 x + 140 y = 2035 }\end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=-\frac{1}{14}\approx -0.071428571$$

$$y = \frac{102}{7} = 14\frac{4}{7} \approx 14.571428571$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$60x+60y=870,70x+140y=2035$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$60x+60y=870$$

समीकरण के दोनों ओर से 60y घटाएं.

$$60x=-60y+870$$

दोनों ओर 60 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{60}\left(-60y+870\right)$$

\frac{1}{60} को -60y+870 बार गुणा करें.

$$x=-y+\frac{29}{2}$$

अन्य समीकरण 70x+140y=2035 में -y+\frac{29}{2} में से x को घटाएं.

$$70\left(-y+\frac{29}{2}\right)+140y=2035$$

70 को -y+\frac{29}{2} बार गुणा करें.

$$-70y+1015+140y=2035$$

-70y में 140y को जोड़ें.

$$70y+1015=2035$$

समीकरण के दोनों ओर से 1015 घटाएं.

$$70y=1020$$

दोनों ओर 70 से विभाजन करें.

$$y=\frac{102}{7}$$

\frac{102}{7} को x=-y+\frac{29}{2} में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{102}{7}+\frac{29}{2}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{29}{2} में -\frac{102}{7} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x=-\frac{1}{14}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=-\frac{1}{14},y=\frac{102}{7}$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$60x+60y=870,70x+140y=2035$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{140}{60\times 140-60\times 70}&-\frac{60}{60\times 140-60\times 70}\\-\frac{70}{60\times 140-60\times 70}&\frac{60}{60\times 140-60\times 70}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&-\frac{1}{70}\\-\frac{1}{60}&\frac{1}{70}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\times 870-\frac{1}{70}\times 2035\\-\frac{1}{60}\times 870+\frac{1}{70}\times 2035\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\\\frac{102}{7}\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=-\frac{1}{14},y=\frac{102}{7}$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$60x+60y=870,70x+140y=2035$$

60x और 70x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 70 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 60 से गुणा करें.

$$70\times 60x+70\times 60y=70\times 870,60\times 70x+60\times 140y=60\times 2035$$

सरल बनाएं.

$$4200x+4200y=60900,4200x+8400y=122100$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 4200x+8400y=122100 में से 4200x+4200y=60900 को घटाएं.

$$4200x-4200x+4200y-8400y=60900-122100$$

4200x में -4200x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 4200x और -4200x को विभाजित कर दिया गया है.

$$4200y-8400y=60900-122100$$

4200y में -8400y को जोड़ें.

$$-4200y=60900-122100$$

60900 में -122100 को जोड़ें.

$$-4200y=-61200$$

दोनों ओर -4200 से विभाजन करें.

$$y=\frac{102}{7}$$

\frac{102}{7} को 70x+140y=2035 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$70x+140\times \frac{102}{7}=2035$$

140 को \frac{102}{7} बार गुणा करें.

$$70x+2040=2035$$

समीकरण के दोनों ओर से 2040 घटाएं.

$$70x=-5$$

दोनों ओर 70 से विभाजन करें.

$$x=-\frac{1}{14}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=-\frac{1}{14},y=\frac{102}{7}$$