{l}{y=2x}{300x+200y=7000} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x } \\ { 300 x + 200 y = 7000 } \end{array} \right.$$

y, x के लिए हल करें

$$x=10$$

$$y=20$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. दोनों ओर से 2x घटाएँ.

$$y-2x=0$$

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर y से पृथक् करके y से हल करें.

$$y-2x=0$$

समीकरण के दोनों ओर 2x जोड़ें.

$$y=2x$$

अन्य समीकरण 200y+300x=7000 में 2x में से y को घटाएं.

$$200\times 2x+300x=7000$$

200 को 2x बार गुणा करें.

$$400x+300x=7000$$

400x में 300x को जोड़ें.

$$700x=7000$$

दोनों ओर 700 से विभाजन करें.

$$x=10$$

10 को y=2x में x के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे y के लिए हल कर सकते हैं.

$$y=2\times 10$$

2 को 10 बार गुणा करें.

$$y=20$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$y=20,x=10$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. दोनों ओर से 2x घटाएँ.

$$y-2x=0$$

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{300-\left(-2\times 200\right)}&-\frac{-2}{300-\left(-2\times 200\right)}\\-\frac{200}{300-\left(-2\times 200\right)}&\frac{1}{300-\left(-2\times 200\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{1}{350}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{700}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{350}\times 7000\\\frac{1}{700}\times 7000\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों y और x को निकालना.

$$y=20,x=10$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. दोनों ओर से 2x घटाएँ.

$$y-2x=0$$

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

y और 200y को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 200 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 1 से गुणा करें.

$$200y+200\left(-2\right)x=0,200y+300x=7000$$

सरल बनाएं.

$$200y-400x=0,200y+300x=7000$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 200y+300x=7000 में से 200y-400x=0 को घटाएं.

$$200y-200y-400x-300x=-7000$$

200y में -200y को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 200y और -200y को विभाजित कर दिया गया है.

$$-400x-300x=-7000$$

-400x में -300x को जोड़ें.

$$-700x=-7000$$

दोनों ओर -700 से विभाजन करें.

$$x=10$$

10 को 200y+300x=7000 में x के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे y के लिए हल कर सकते हैं.

$$200y+300\times 10=7000$$

300 को 10 बार गुणा करें.

$$200y+3000=7000$$

समीकरण के दोनों ओर से 3000 घटाएं.

$$200y=4000$$

दोनों ओर 200 से विभाजन करें.

$$y=20$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$y=20,x=10$$