{l}{y=2/-7x+3468}{y=7/2x-248} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 2 } { - 7 } x + 3468 } \\ { y = \frac { 7 } { 2 } x - 248 } \end{array} \right.$$

y, x के लिए हल करें

$$x = \frac{52024}{53} = 981\frac{31}{53} \approx 981.58490566$$

$$y = \frac{168940}{53} = 3187\frac{29}{53} \approx 3187.547169811$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. ऋण के चिह्न को निकालकर भिन्न \frac{2}{-7} को -\frac{2}{7} रूप में पुनः लिखा जा सकता है.

$$y=-\frac{2}{7}x+3468$$

अन्य समीकरण y-\frac{7}{2}x=-248 में -\frac{2x}{7}+3468 में से y को घटाएं.

$$-\frac{2}{7}x+3468-\frac{7}{2}x=-248$$

-\frac{2x}{7} में -\frac{7x}{2} को जोड़ें.

$$-\frac{53}{14}x+3468=-248$$

समीकरण के दोनों ओर से 3468 घटाएं.

$$-\frac{53}{14}x=-3716$$

समीकरण के दोनों ओर -\frac{53}{14} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$x=\frac{52024}{53}$$

\frac{52024}{53} को y=-\frac{2}{7}x+3468 में x के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे y के लिए हल कर सकते हैं.

$$y=-\frac{2}{7}\times \frac{52024}{53}+3468$$

अंश के बार अंश से और हर के बराबर हर से गुणा करके -\frac{2}{7} का \frac{52024}{53} बार गुणा करें. फिर यदि संभव हो तो भिन्न को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$y=-\frac{14864}{53}+3468$$

3468 में -\frac{14864}{53} को जोड़ें.

$$y=\frac{168940}{53}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$y=\frac{168940}{53},x=\frac{52024}{53}$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. ऋण के चिह्न को निकालकर भिन्न \frac{2}{-7} को -\frac{2}{7} रूप में पुनः लिखा जा सकता है.

$$y=-\frac{2}{7}x+3468$$

दोनों ओर \frac{2}{7}x जोड़ें.

$$y+\frac{2}{7}x=3468$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. दोनों ओर से \frac{7}{2}x घटाएँ.

$$y-\frac{7}{2}x=-248$$

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$y+\frac{2}{7}x=3468,y-\frac{7}{2}x=-248$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{7}\\1&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3468\\-248\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{7}\\1&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{7}\\1&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{7}\\1&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{7}\\1&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3468\\-248\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{7}\\1&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3468\\-248\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{7}\\1&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3468\\-248\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{7}{2}}{-\frac{7}{2}-\frac{2}{7}}&-\frac{\frac{2}{7}}{-\frac{7}{2}-\frac{2}{7}}\\-\frac{1}{-\frac{7}{2}-\frac{2}{7}}&\frac{1}{-\frac{7}{2}-\frac{2}{7}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3468\\-248\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{53}&\frac{4}{53}\\\frac{14}{53}&-\frac{14}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3468\\-248\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{53}\times 3468+\frac{4}{53}\left(-248\right)\\\frac{14}{53}\times 3468-\frac{14}{53}\left(-248\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{168940}{53}\\\frac{52024}{53}\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों y और x को निकालना.

$$y=\frac{168940}{53},x=\frac{52024}{53}$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. ऋण के चिह्न को निकालकर भिन्न \frac{2}{-7} को -\frac{2}{7} रूप में पुनः लिखा जा सकता है.

$$y=-\frac{2}{7}x+3468$$

दोनों ओर \frac{2}{7}x जोड़ें.

$$y+\frac{2}{7}x=3468$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. दोनों ओर से \frac{7}{2}x घटाएँ.

$$y-\frac{7}{2}x=-248$$

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$y+\frac{2}{7}x=3468,y-\frac{7}{2}x=-248$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर y-\frac{7}{2}x=-248 में से y+\frac{2}{7}x=3468 को घटाएं.

$$y-y+\frac{2}{7}x+\frac{7}{2}x=3468+248$$

y में -y को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद y और -y को विभाजित कर दिया गया है.

$$\frac{2}{7}x+\frac{7}{2}x=3468+248$$

\frac{2x}{7} में \frac{7x}{2} को जोड़ें.

$$\frac{53}{14}x=3468+248$$

3468 में 248 को जोड़ें.

$$\frac{53}{14}x=3716$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{53}{14} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$x=\frac{52024}{53}$$

\frac{52024}{53} को y-\frac{7}{2}x=-248 में x के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे y के लिए हल कर सकते हैं.

$$y-\frac{7}{2}\times \frac{52024}{53}=-248$$

अंश के बार अंश से और हर के बराबर हर से गुणा करके -\frac{7}{2} का \frac{52024}{53} बार गुणा करें. फिर यदि संभव हो तो भिन्न को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$y-\frac{182084}{53}=-248$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{182084}{53} जोड़ें.

$$y=\frac{168940}{53}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$y=\frac{168940}{53},x=\frac{52024}{53}$$